Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região.
y=x\left(x^{2}-1\right) e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x\bigl(x^{2}-1\bigr)
e
y = 0.
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais definidas para obter a área entre uma curva e o eixo x. Para isso vamos: (1) achar as interseções, (2) analisar onde a curva fica acima ou abaixo do eixo, (3) montar a integral de valor absoluto e (4) calcular.

Passo 2

As interseções dessas curvas ocorrem quando
x\bigl(x^{2}-1\bigr)=0,
isto é,
x=0,\quad x^{2}-1=0\\ \Longrightarrow\\ x=\pm1.
Logo, os pontos de interseção são x=-1, x=0 e x=1.

Passo 3

Para entender a forma da região, estudamos o sinal da função
f(x)=x^{3}-x
em cada intervalo:
  • Em -1<x<0, temos x<0 e x^{2}-1<0, logo f(x)>0 (a curva fica acima do eixo).
  • Em 0<x<1, temos x>0 e x^{2}-1<0, logo f(x)<0 (a curva fica abaixo do eixo).
    Isso gera dois “lóbulos” simétricos em torno da origem.

Passo 4

A área total é a soma das áreas absolutas em cada intervalo. Assim,
A = \int_{-1}^{0} \bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx \;+\;\int_{0}^{1} \bigl[-\bigl(x^{3}-x\bigr)\bigr]\,dx =\int_{-1}^{0} (x^{3}-x)\,dx \;+\;\int_{0}^{1} (x - x^{3})\,dx.

Passo 5

Calculamos cada integral:
Para F(x)=\int(x^{3}-x)\,dx = \tfrac{x^{4}}{4}-\tfrac{x^{2}}{2}, tem-se
\int_{-1}^{0}(x^{3}-x)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{0} = \bigl(0-0\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{4}.
Para \displaystyle \int_{0}^{1}(x - x^{3})\,dx, note que x - x^{3}=-(x^{3}-x), então
\int_{0}^{1}(x - x^{3})\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(\tfrac12-\tfrac14\bigr)-0 = \tfrac{1}{4}.

Resposta

A área total da região limitada por y=x(x^{2}-1) e y=0 é
\boxed{\tfrac{1}{2}}.

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