Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais definidas para obter a área entre uma curva e o eixo
. Para isso vamos: (1) achar as interseções, (2) analisar onde a curva fica acima ou abaixo do eixo, (3) montar a integral de valor absoluto e (4) calcular.
Passo 2
As interseções dessas curvas ocorrem quando
isto é,
Logo, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Para entender a forma da região, estudamos o sinal da função
em cada intervalo:
- Em
, temos e , logo (a curva fica acima do eixo). - Em
, temos e , logo (a curva fica abaixo do eixo).
Isso gera dois “lóbulos” simétricos em torno da origem.
Passo 4
A área total é a soma das áreas absolutas em cada intervalo. Assim,
Passo 5
Calculamos cada integral:
Para , tem-se
Para
Para
, note que
, então
Resposta
A área total da região limitada por
e
é