Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=8 t \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=10 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y'' + y = 8t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=10.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
2. Obter uma solução particular da equação não homogênea pelo método dos coeficientes indeterminados.
3. Ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica associada é
r^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.
Logo, a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p de
y'' + y = 8t
usamos um palpite polinomial de grau 1, pois o termo não homogêneo é polinomial de grau 1. Seja
y_p(t) = a\,t + b.
Então
y_p''(t)=0,
e
y_p'' + y_p = 0 + (a\,t + b) = a\,t + b \stackrel{!}{=} 8t.
Comparando coeficientes: a=8 e b=0. Portanto
y_p(t) = 8t.

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 8t.
Aplicando as condições iniciais:
  • y(0)=0 C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = 0, então C_1=0.
  • Calculamos y'(t) = -C_1 \sin t + C_2 \cos t + 8. Em t=0:
y'(0) = -0 + C_2 \cdot 1 + 8 = 10 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 2.

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 2\sin t + 8t.

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