Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{0} \frac{2 x^{2}-x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de
\int_{-1}^{0} \frac{2x^{2}-x+1}{\bigl(x^{2}+1\bigr)(x-1)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais para encontrar uma primitiva mais simples e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x-1), obtemos
2x^{2}-x+1 =A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1).
Expandindo o segundo termo e igualando coeficientes:
A x^{2}+A+(Bx+C)x-(Bx+C) =(A+B)x^{2}+(C-B)x+(A-C).
Comparando com 2x^{2}-x+1, temos o sistema
A + B = 2,\quad C - B = -1,\quad A - C = 1.
Resolvendo, achamos A=1, B=1 e C=0. Logo
\frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)} =\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto, uma primitiva é
F(x)=\ln\bigl|x-1\bigr|+\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo entre -1 e 0:
F(0)=\ln|{-1}|+\tfrac{1}{2}\ln(1)=0, \quad F(-1)=\ln|{-2}|+\tfrac{1}{2}\ln2 =\ln2+\tfrac{1}{2}\ln2=\tfrac{3}{2}\ln2.
Logo
\int_{-1}^{0}\frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)}\,dx =F(0)-F(-1) =0-\tfrac{3}{2}\ln2 =-\tfrac{3}{2}\ln2.

Resposta

-\tfrac{3}{2}\ln2

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