Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{-1}^{0} \frac{2 x^{2}-x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)} d x Passo 1O enunciado pede a integral definida de \int_{-1}^{0} \frac{2x^{2}-x+1}{\bigl(x^{2}+1\bigr)(x-1)}\,dx. O conteúdo principal aqui é integração de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais para encontrar uma primitiva mais simples e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo. Passo 2Fazemos a decomposição \frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}. Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x-1), obtemos 2x^{2}-x+1 =A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1). Expandindo o segundo termo e igualando coeficientes: A x^{2}+A+(Bx+C)x-(Bx+C) =(A+B)x^{2}+(C-B)x+(A-C). Comparando com 2x^{2}-x+1, temos o sistema A + B = 2,\quad C - B = -1,\quad A - C = 1. Resolvendo, achamos A=1, B=1 e C=0. Logo \frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)} =\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x^{2}+1}. Passo 3Agora integramos termo a termo: \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr). Portanto, uma primitiva é F(x)=\ln\bigl|x-1\bigr|+\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr). Passo 4Aplicando o teorema fundamental do cálculo entre -1 e 0: F(0)=\ln|{-1}|+\tfrac{1}{2}\ln(1)=0, \quad F(-1)=\ln|{-2}|+\tfrac{1}{2}\ln2 =\ln2+\tfrac{1}{2}\ln2=\tfrac{3}{2}\ln2. Logo \int_{-1}^{0}\frac{2x^{2}-x+1}{(x^{2}+1)(x-1)}\,dx =F(0)-F(-1) =0-\tfrac{3}{2}\ln2 =-\tfrac{3}{2}\ln2. Resposta -\tfrac{3}{2}\ln2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEm cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região. y=x\left(x^{2}-1\right) e y=0. Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível. Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{1}^{4}\left(x^{2}-4 x\right) d x. Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{1}^{3} x \sqrt{x} d x