Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{4}\left(x^{2}-4 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é o uso do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a um polinômio. Vamos precisar encontrar uma primitiva da função integranda usando a regra da potência.

Passo 2

Calculamos a primitiva F(x) de x^{2}-4x. Pela regra da potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int -4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.
Logo,
F(x) = \frac{x^{3}}{3} \;-\; 2x^{2}.

Passo 3

Avaliaremos F(x) em x=4:
F(4) = \frac{4^{3}}{3} - 2\cdot 4^{2} = \frac{64}{3} - 32 = \frac{64 - 96}{3} = -\frac{32}{3}.

Passo 4

Avaliaremos F(x) em x=1:
F(1) = \frac{1^{3}}{3} - 2\cdot 1^{2} = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{4}\bigl(x^{2}-4x\bigr)\,dx = F(4) - F(1) = -\frac{32}{3} - \Bigl(-\frac{5}{3}\Bigr) = -\frac{27}{3} = -9.

Resposta

-9

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