Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor de x>0 que minimiza a função
f(x) = x^{3} + \frac{4}{x^{2}}.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas para otimização de função em intervalo aberto.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{3} + 4x^{-2},
com domínio x>0. Para encontrar extremos locais, calculamos a derivada primeira e procuramos pontos críticos onde f'(x)=0.

Passo 3

Calculemos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(4x^{-2}\bigr) = 3x^{2} - 8x^{-3}.

Passo 4

Igualamos f'(x) a zero para achar pontos críticos:
3x^{2} - 8x^{-3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{5} = 8 \quad\Longrightarrow\quad x^{5} = \frac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)^{1/5}.

Passo 5

Verificamos a natureza do ponto crítico usando a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2} -8x^{-3}\bigr) = 6x +24x^{-4}.
Para todo x>0, tem-se f''(x)>0, indicando mínimo local.

Resposta

O valor de x>0 que torna mínima a soma x^{3}+4/x^{2} é
x = \Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)^{1/5}.

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