Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor de
que minimiza a função
O conteúdo usado será cálculo de derivadas para otimização de função em intervalo aberto.
Passo 2
Definimos
com domínio
. Para encontrar extremos locais, calculamos a derivada primeira e procuramos pontos críticos onde
.
Passo 3
Calculemos a derivada de
:
Passo 4
Igualamos
a zero para achar pontos críticos:
Passo 5
Verificamos a natureza do ponto crítico usando a segunda derivada:
Para todo
, tem-se
, indicando mínimo local.
Resposta
O valor de
que torna mínima a soma
é