Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região.
y=x^{2}-5 e y=-x^{2}+6 x-5.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas parábolas
y = x^{2} - 5
e
y = -\,x^{2} + 6x - 5
e queremos esboçar e calcular a área da região limitada por elas. O conteúdo usado será “área entre curvas” via integral definida em x: primeiro achamos os pontos de interseção, depois determinamos qual curva fica por cima em cada intervalo e finalmente integramos a diferença.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção resolvemos
x^{2} - 5 \;=\;-\,x^{2} + 6x - 5.
Colocando tudo num lado:
x^{2} + x^{2} - 6x + (-5 + 5)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^{2} - 6x = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x\,\bigl(x - 3\bigr)=0.
Logo os valores de x são
x=0 \quad\text{e}\quad x=3.
Os pontos de interseção são \bigl(0,-5\bigr) e \bigl(3,4\bigr).

Passo 3

Agora determinamos qual curva está acima no intervalo [0,3]. Calculamos
(-\,x^{2}+6x-5)\;-\;(x^{2}-5) \;=\;-2x^{2}+6x.
No intervalo 0\le x\le3 tem-se -2x^{2}+6x\ge0, ou seja,
y_{\text{cima}}=-\,x^{2}+6x-5, \quad y_{\text{baixo}}=x^{2}-5.

Passo 4

Montamos a integral da diferença entre a curva de cima e a de baixo:
A = \int_{0}^{3}\Bigl[(-\,x^{2}+6x-5)\;-\;(x^{2}-5)\Bigr]dx =\int_{0}^{3}(-2x^{2}+6x)\,dx.
Calculando a primitiva:
\int(-2x^{2}+6x)\,dx =-\tfrac{2}{3}x^{3}+3x^{2},
então
A=\Bigl[-\tfrac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\Bigr]_{0}^{3} =\bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot27+3\cdot9\bigr)-0 =(-18+27)=9.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 9.

Exercícios relacionados