Calcule a derivada das funçōes indicadas:
f(x)=\frac{x^{5}-3 x^{-3}+5}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{5}-3x^{-3}+5}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}}.
Aqui usamos a regra do quociente e, para a derivada do denominador, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{5}-3x^{-3}+5, \quad v(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}.
Calculamos
u'(x)=5x^{4}-3\bigl(-3x^{-4}\bigr)=5x^{4}+9x^{-4},
v'(x)=3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) =3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\cdot(2x) =6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^{2}} =\frac{\bigl(5x^{4}+9x^{-4}\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3} -\bigl(x^{5}-3x^{-3}+5\bigr)\,6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} {\bigl(x^{2}+1\bigr)^{6}}.

Passo 4

Fatoramos \bigl(x^{2}+1\bigr)^{2} no numerador e cancelamos com parte do denominador:
f'(x) =\frac{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\Bigl[(5x^{4}+9x^{-4})(x^{2}+1)-6x(x^{5}-3x^{-3}+5)\Bigr]} {\bigl(x^{2}+1\bigr)^{6}} =\frac{(5x^{4}+9x^{-4})(x^{2}+1)-6x(x^{5}-3x^{-3}+5)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}}.

Passo 5

Expandindo o numerador:
(5x^{4}+9x^{-4})(x^{2}+1) =5x^{6}+5x^{4}+9x^{-2}+9x^{-4},
6x(x^{5}-3x^{-3}+5) =6x^{6}-18x^{-2}+30x.
Então o numerador fica
5x^{6}+5x^{4}+9x^{-2}+9x^{-4} -\bigl(6x^{6}-18x^{-2}+30x\bigr) =-x^{6}+5x^{4}-30x+27x^{-2}+9x^{-4}.
Logo,

Resposta

f'(x) =\frac{-x^{6}+5x^{4}-30x+27x^{-2}+9x^{-4}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}}.

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