Calcule a derivada das funçōes indicadas:
g(x)=(2 x+1)^{3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x) = (2x+1)^{3x+1}
Este tipo de função tem base e expoente dependentes de x, então é mais prático usar a logaritmo-diferenciação, além de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de g(x):
\ln g(x) = \ln\bigl((2x+1)^{3x+1}\bigr) = (3x+1)\,\ln(2x+1).

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, fica \dfrac{g'(x)}{g(x)}. No direito, usamos regra do produto para (3x+1)\ln(2x+1):
\frac{d}{dx}\bigl((3x+1)\ln(2x+1)\bigr) = (3x+1)'\,\ln(2x+1) + (3x+1)\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(2x+1)\bigr).
Como (3x+1)'=3 e \dfrac{d}{dx}\ln(2x+1)=\dfrac{2}{2x+1}, resultam:
\frac{g'(x)}{g(x)} = 3\,\ln(2x+1) + (3x+1)\,\frac{2}{2x+1}.

Passo 4

Isolando g'(x), multiplicamos ambos os lados por g(x):
g'(x) = g(x)\,\Bigl[\,3\ln(2x+1) + \frac{2\,(3x+1)}{2x+1}\Bigr].
Finalmente, voltando a g(x)=(2x+1)^{3x+1}, temos:

Resposta

g'(x) = (2x+1)^{3x+1}\,\Bigl[\,3\ln(2x+1) + \frac{2\,(3x+1)}{2x+1}\Bigr].

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