Para cada item, dê um exemplo de uma função afim f, apresentando a expressão do tipo f(x)= a x+b, dado que:
A função é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente um exemplo de função afim da forma f(x)=a x+b tal que a função seja decrescente.
Informações dadas: a função deve ser afim (ou seja, da forma \,f(x)=a x+b\,) e deve ser decrescente.

Passo 2

Vamos definir o que é uma função afim e o que significam a e b.
A função afim tem a forma
f(x)=a x+b,
onde:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação da reta);
  • b é o coeficiente linear (o ponto onde a reta cruza o eixo y).
    Intuitivamente, a diz se a reta sobe ou desce quando x aumenta: se a>0 a reta sobe, se a<0 a reta desce.

Passo 3

Agora a regra precisa para monotonicidade de uma função afim. Tomemos dois pontos x_1 e x_2 com x_1<x_2. Então
f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0, o sinal de f(x_2)-f(x_1) é o mesmo sinal de a. Portanto:
  • se a<0 então f(x_2)-f(x_1)<0 para todo x_1<x_2, ou seja, f(x_2)<f(x_1) e a função é decrescente;
  • se a>0 a função é crescente;
  • se a=0 a função é constante.
    Assim, para ter uma função decrescente basta escolher a<0 qualquer.

Passo 4

Vou escolher coeficientes concretos para dar o exemplo pedido. Escolho
a=-2\quad\text{e}\quad b=3.
Com esses valores, para conferir numericamente temos, usando f(x)=a x+b:
f(0)=(-2)\cdot 0 + 3 = 3,
f(1)=(-2)\cdot 1 + 3 = 1.
Como f(1)=1<3=f(0), ao aumentar x de 0 para 1 o valor de f diminuiu, o que é coerente com decrescimento.

Passo 5

Para ser totalmente formal com a escolha a=-2: para quaisquer x_1<x_2,
f(x_2)-f(x_1)=(-2)(x_2-x_1)<0,
pois x_2-x_1>0. Logo f(x_2)<f(x_1) para todo x_1<x_2, ou seja, a função é decrescente. Em geral, qualquer função da forma f(x)=a x+b com a<0 serve como exemplo.

Resposta

f(x)=-2x+3

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