Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x^{2}+x}-1}{x}
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é x\mapsto \sqrt[3]{x^{2}+x}-1.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x=0.
  • Não há figuras ou dados adicionais.
O que se busca: determinar se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor (ou então identificar se diverge a +\infty ou -\infty).

Passo 2

Vamos primeiro verificar o comportamento direto ao substituir x=0 (teste de forma indeterminada ou não):
\sqrt[3]{0^{2}+0}-1=\sqrt[3]{0}-1=0-1=-1.
Logo o numerador tende a -1 quando x\to 0, enquanto o denominador x tende a 0. Portanto a expressão tem a forma do tipo \frac{-1}{0}, isto é, não é uma forma indeterminada 0/0 nem \infty/\infty; indica que o quociente tende a infinito (com sinal dependendo do lado pelo qual x se aproxima de 0). Vamos estudar os limites laterais para decidir o comportamento.

Passo 3

Calculemos o limite pela direita, isto é \lim_{x\to 0^+}.
Para x>0 pequeno temos:
  • o numerador \sqrt[3]{x^{2}+x}-1 é próximo de -1 (pois \sqrt[3]{x^{2}+x}\to 0),
  • o denominador x é um número positivo muito pequeno.
Assim um número próximo de -1 dividido por um número positivo tendendo a 0 vai para -\infty. Formalmente,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+x}-1}{x}=-\infty.

Passo 4

Agora o limite pela esquerda, \lim_{x\to 0^-}.
Para x<0 pequeno temos:
  • novamente o numerador tende a -1,
  • o denominador x é um número negativo com valor absoluto muito pequeno.
Assim um número próximo de -1 dividido por um número negativo pequeno resulta em um quociente positivo com módulo muito grande, ou seja tende a +\infty. Formalmente,
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+x}-1}{x}=+\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem ( \lim_{x\to0^+}=-\infty e \lim_{x\to0^-}=+\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+x}-1}{x} não existe (diverge). Em palavras: a expressão tem sinais opostos ao aproximar-se de 0 pela direita e pela esquerda, portanto não há limite finito nem mesmo infinito bilateral único.

Resposta

O limite não existe (diverge): \lim_{x\to0^+}=\,-\infty e \lim_{x\to0^-}=+\infty.

Exercícios relacionados