Em cada item, dê um exemplo de sequência satisfazendo a propriedade pedida ou justifique porque não é possível existir uma tal sequência.
(e) Uma sequência divergente cujo conjunto de valores seja finito.

Passo 1

O enunciado pede uma sequência que seja divergente (ou seja, não convirja a nenhum número real) e cujo conjunto de valores tomados seja finito. O conteúdo é de limites de sequências, convergência/divergência e conjunto imagem de uma sequência.

Passo 2

Para obter um conjunto de valores finito e ainda assim garantir divergência, basta escolher dois valores distintos e alterná-los em toda a sequência. Assim, consideremos a sequência (a_n)\) definida por \[a_n = \begin{cases} 0, & \text{se \(n é par},\ 1, & se n é ímpar. \end{cases}]
Aqui o conjunto de valores é \{0,1\}, que é finito.

Passo 3

Mostramos que (a_n) não converge. A subsequência dos índices pares
(a_{2k})_{k=1}^\infty = (0,0,0,\dots)
converge a 0, enquanto a subsequência dos índices ímpares
(a_{2k-1})_{k=1}^\infty = (1,1,1,\dots)
converge a 1. Como 0 \neq 1, não há um único limite para toda a sequência, logo ela diverge.

Resposta

Um exemplo é
a_n = \begin{cases} 0, & \text{se \(n\) é par},\\ 1, & \text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
O conjunto de valores é \{0,1\} (finito) e a sequência diverge por oscilar entre os dois valores.

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