Em cada item, dê um exemplo de sequência satisfazendo a propriedade pedida ou justifique porque não é possível existir uma tal sequência.
(e) Uma sequência divergente cujo conjunto de valores seja finito.
(e) Uma sequência divergente cujo conjunto de valores seja finito.
Passo 1
O enunciado pede uma sequência que seja divergente (ou seja, não convirja a nenhum número real) e cujo conjunto de valores tomados seja finito. O conteúdo é de limites de sequências, convergência/divergência e conjunto imagem de uma sequência.
Passo 2
Para obter um conjunto de valores finito e ainda assim garantir divergência, basta escolher dois valores distintos e alterná-los em toda a sequência. Assim, consideremos a sequência
é par},\ 1, & se
é ímpar. \end{cases}]
Aqui o conjunto de valores é
, que é finito.
Passo 3
Mostramos que
não converge. A subsequência dos índices pares
converge a
, enquanto a subsequência dos índices ímpares
converge a
. Como
, não há um único limite para toda a sequência, logo ela diverge.
Resposta
Um exemplo é
O conjunto de valores é
(finito) e a sequência diverge por oscilar entre os dois valores.