Em cada item, dê um exemplo de sequência satisfazendo a propriedade pedida ou justifique porque não é possível existir uma tal sequência.
(d) Uma sequência convergente cujo conjunto de valores seja infinito.

Passo 1

O enunciado pede uma sequência que converge (ou seja, existe \ell\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty}x_n=\ell) e cujo conjunto de valores \{x_n:n\in\mathbb{N}\} seja infinito.

Passo 2

Uma ideia simples é usar a sequência
x_n = \frac{1}{n}\,.
Vamos verificar que ela satisfaz as duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n} = 0, ou seja, a sequência converge para 0.
Depois, todos os termos x_n=\tfrac1n são distintos entre si, pois se m\neq n então \tfrac1m\neq\tfrac1n. Logo o conjunto de valores \{\tfrac11,\tfrac12,\tfrac13,\dots\} é infinito.

Resposta

Um exemplo é
x_n = \frac{1}{n}\,,
que converge a 0 e assume infinitos valores distintos.

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