Em cada item, dê um exemplo de sequência satisfazendo a propriedade pedida ou justifique porque não é possível existir uma tal sequência.
(g) Uma sequência convergente com infinitos termos positivos e infinitos termos negativos.

Passo 1

O enunciado pede uma sequência convergente que tenha infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Vamos usar uma sequência alternante cujo valor absoluto tende a zero, garantindo a convergência.

Passo 2

Considere a sequência \bigl(a_n\bigr) definida por
a_n = \frac{(-1)^n}{n}
Temos \lvert a_n - 0\rvert = 1/n e, como \lim_{n\to\infty}1/n = 0, segue que \lim_{n\to\infty}a_n = 0. Quando n é par, (-1)^n=1 e a_n>0; quando n é ímpar, (-1)^n=-1 e a_n<0. Logo há infinitos termos positivos e infinitos termos negativos.

Resposta

Um exemplo é
a_n = \frac{(-1)^n}{n},
que converge para 0 e possui infinitos termos positivos (para n par) e infinitos termos negativos (para n ímpar).

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