Em cada item, explique por que f é descontínua em x_{0}.
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4 x+3}{x-3} & \text { se } x \neq 3 \\\\ 5 & \text { se } x=3\end{array}\right. em x_{0}=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3},&x\neq3,\\\\ 5,&x=3, \end{cases}
e pede para mostrar que ela é descontínua em x_{0}=3. O critério de continuidade em um ponto x_{0} exige que existam
  1. \lim_{x\to x_{0}}f(x) com valor finito, e
  2. esse limite seja igual a f(x_{0}).
    Vamos calcular \lim_{x\to3}f(x) e comparar com f(3).

Passo 2

Para x\neq3 fatoramos o numerador:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo, para x\neq3,
f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=x-1.
Portanto o limite é
\lim_{x\to3}f(x)=\lim_{x\to3}(x-1)=2.

Passo 3

O valor que a função assume em x=3 é
f(3)=5.
Como
\lim_{x\to3}f(x)=2\neq5=f(3),
a condição de continuidade falha (o limite existe, mas não coincide com f(3)).

Resposta

A função é descontínua em x_{0}=3 porque
\lim_{x\to3}f(x)=2 \quad\text{e}\quad f(3)=5,
logo \lim_{x\to3}f(x)\neq f(3).

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