3-Considere a função f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
a) Determine o domínio de f.
b) Calcule a derivada de ordem 1 de f.
c) A função f tem pontos críticos? Se sim, quais?
d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
e) Calcule a derivada de ordem 2 de f.
f) Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo
g) A função tem pontos de máximo e mínimo? Se sim, quais?
h) A função f tem pontos de inflexão? Se sim, quais?
i) Calcule o \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
j) A função f possui assíntotas horizontais? Se sim, quais?
k) A função f possui assíntotas verticais? Se sim, quais?
  1. Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}
e pede: domínio, derivadas de 1ª e 2ª ordem, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, extremos, ponto de inflexão, limites infinitos, assíntotas e esboço do gráfico. O conteúdo é de cálculo diferencial de funções racionais.

Passo 2

Para o domínio, note que o denominador não pode ser zero. Assim
x^{2}\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq0.
Logo o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.

Passo 3

Para a derivada de ordem 1, use a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(1)\,x^{2}-(x-1)\,2x}{x^{4}} =\frac{x^{2}-2x^{2}+2x}{x^{4}} =\frac{-x^{2}+2x}{x^{4}} =\frac{-x+2}{x^{3}}.

Passo 4

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0 ou são onde f' não existe (fora do domínio). Como
\frac{-x+2}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad -x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2,
e x=0 não está no domínio, o único ponto crítico é x=2.

Passo 5

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, analise o sinal de \displaystyle f'(x)=\frac{-x+2}{x^{3}}:
  • Em (-\infty,0): numerador (-x+2)>0, denominador x^{3}<0 f'<0 (decrescente).
  • Em (0,2): numerador >0, denominador >0 f'>0 (crescente).
  • Em (2,\infty): numerador <0, denominador >0 f'<0 (decrescente).

Passo 6

Para a derivada de ordem 2, derive f'(x)=(-x+2)x^{-3} por produto/quotient:
f''(x) =\frac{(-1)x^{3}-(-x+2)\,3x^{2}}{x^{6}} =\frac{-x^{3}+3x^{3}-6x^{2}}{x^{6}} =\frac{2x^{3}-6x^{2}}{x^{6}} =\frac{2(x-3)}{x^{4}}.

Passo 7

Os intervalos de concavidade vêm do sinal de f''(x)=2(x-3)/x^{4}. Como x^{4}>0 sempre:
  • f''(x)<0 se x-3<0, isto é, em (-\infty,0) e (0,3): concavidade para baixo.
  • f''(x)>0 se x-3>0, isto é, em (3,\infty): concavidade para cima.

Passo 8

Em x=2 temos mudança de f'>0 (em (0,2)) para f'<0 (em (2,\infty)), logo há máximo local em x=2. O valor é
f(2)=\frac{2-1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 9

A ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e muda concavidade.
2(x-3)/x^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3,
com mudança de concavidade de baixo para cima. O ponto é \bigl(3,\,f(3)\bigr) com
f(3)=\frac{3-1}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 10

Para os limites no infinito:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{x^{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=0,
\lim_{x\to-\infty}\frac{x-1}{x^{2}}=0.

Passo 11

Como ambos os limites infinitos são 0, há assíntota horizontal y=0.

Passo 12

O único ponto excluído do domínio é x=0 e a função diverge para \pm\infty perto de 0, logo há assíntota vertical x=0.

Resposta

a) Domínio: \{x\neq0\}.
b) f'(x)=\dfrac{-x+2}{x^{3}}.
c) Ponto crítico: x=2.
d) Decrescente em (-\infty,0) e (2,\infty); crescente em (0,2).
e) f''(x)=\dfrac{2(x-3)}{x^{4}}.
f) Concava para baixo em (-\infty,0)\cup(0,3); para cima em (3,\infty).
g) Máximo local em \bigl(2,\tfrac14\bigr); não há mínimo local.
h) Ponto de inflexão em \bigl(3,\tfrac29\bigr).
i) \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
j) Assíntota horizontal: y=0.
k) Assíntota vertical: x=0.
l) Esboço: veja curva negativa em x<0 decrescente e concava, ramo positivo cresce até (2,\tfrac14) depois decresce, muda concavidade em x=3 e tende a y=0.

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