3-Considere a função
.
a) Determine o domínio de f.
b) Calcule a derivada de ordem 1 de f.
c) A função f tem pontos críticos? Se sim, quais?
d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
e) Calcule a derivada de ordem 2 de f.
f) Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo
g) A função tem pontos de máximo e mínimo? Se sim, quais?
h) A função f tem pontos de inflexão? Se sim, quais?
i) Calcule o
e
j) A função f possui assíntotas horizontais? Se sim, quais?
k) A função f possui assíntotas verticais? Se sim, quais?
- Faça um esboço do gráfico de f.
a) Determine o domínio de f.
b) Calcule a derivada de ordem 1 de f.
c) A função f tem pontos críticos? Se sim, quais?
d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
e) Calcule a derivada de ordem 2 de f.
f) Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo
g) A função tem pontos de máximo e mínimo? Se sim, quais?
h) A função f tem pontos de inflexão? Se sim, quais?
i) Calcule o
j) A função f possui assíntotas horizontais? Se sim, quais?
k) A função f possui assíntotas verticais? Se sim, quais?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: domínio, derivadas de 1ª e 2ª ordem, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, extremos, ponto de inflexão, limites infinitos, assíntotas e esboço do gráfico. O conteúdo é de cálculo diferencial de funções racionais.
Passo 2
Para o domínio, note que o denominador não pode ser zero. Assim
Logo o domínio de
é
Passo 3
Para a derivada de ordem 1, use a regra do quociente:
Passo 4
Os pontos críticos satisfazem
ou são onde
não existe (fora do domínio). Como
e
não está no domínio, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, analise o sinal de
:
- Em
: numerador , denominador ⇒ (decrescente). - Em
: numerador , denominador ⇒ (crescente). - Em
: numerador , denominador ⇒ (decrescente).
Passo 6
Para a derivada de ordem 2, derive
por produto/quotient:
Passo 7
Os intervalos de concavidade vêm do sinal de
. Como
sempre:
-
se , isto é, em e : concavidade para baixo. -
se , isto é, em : concavidade para cima.
Passo 8
Em
temos mudança de
(em
) para
(em
), logo há máximo local em
. O valor é
Passo 9
A ponto de inflexão ocorre onde
e muda concavidade.
com mudança de concavidade de baixo para cima. O ponto é
com
Passo 10
Para os limites no infinito:
Passo 11
Como ambos os limites infinitos são
, há assíntota horizontal
.
Passo 12
O único ponto excluído do domínio é
e a função diverge para
perto de
, logo há assíntota vertical
.
Resposta
a) Domínio:
.
b) .
c) Ponto crítico: .
d) Decrescente em e
; crescente em
.
e) .
f) Concava para baixo em ; para cima em
.
g) Máximo local em ; não há mínimo local.
h) Ponto de inflexão em .
i) .
j) Assíntota horizontal: .
k) Assíntota vertical: .
l) Esboço: veja curva negativa em decrescente e concava, ramo positivo cresce até
depois decresce, muda concavidade em
e tende a
.
b)
c) Ponto crítico:
d) Decrescente em
e)
f) Concava para baixo em
g) Máximo local em
h) Ponto de inflexão em
i)
j) Assíntota horizontal:
k) Assíntota vertical:
l) Esboço: veja curva negativa em