1- Considere a função
. Use o seguinte roteiro para esboçar o gráfico da função:
a) Domínio
b) Intersecções com os eixos coordenados
c) Simetria
d) Assíntotas verticais e Horizontais
e) Intervalos de crescimento e de decrescimento
f) Valores máximo e mínimos locais
g) Concavidade e pontos de inflexão
h) Esboço da curva mediante as informações anteriores
a) Domínio
b) Intersecções com os eixos coordenados
c) Simetria
d) Assíntotas verticais e Horizontais
e) Intervalos de crescimento e de decrescimento
f) Valores máximo e mínimos locais
g) Concavidade e pontos de inflexão
h) Esboço da curva mediante as informações anteriores
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede, em sequência, domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, o esboço do gráfico. Usaremos conceitos de análise de funções polinomiais e derivadas.
Passo 2
Qual é o domínio de
?
Como é um polinômio (produto de
por
), ela está definida para todo
.
Como
Passo 3
Quais são as interseções com os eixos?
Para o eixo : resolvemos
Para o eixo
que dá as raízes
e
. Logo, os pontos são
e
.
Para o eixo : basta
, já encontrado.
Para o eixo
Passo 4
A função tem alguma simetria?
Verificamos .
Logo, não há simetria par nem ímpar.
Verificamos
Logo, não há simetria par nem ímpar.
Passo 5
Existem assíntotas verticais ou horizontais?
Como é polinomial de grau 4, não há assíntotas verticais nem horizontais.
Como
Passo 6
Quais são os pontos críticos e a monotonicidade?
Calculamos a derivada por regra do produto e cadeia:
Calculamos a derivada por regra do produto e cadeia:
Os zeros de
são
(multiplicidade 2) e
.
Passo 7
Sinal de
e monotonicidade:
- Em
: toma-se , ⇒ decresce. - Em
: toma-se , ⇒ cresce. - Em
: toma-se , ⇒ cresce.
Passo 8
Extremos locais:
Só há mudança de decrescimento para crescimento em .
Só há mudança de decrescimento para crescimento em
Logo há um mínimo local em
. Em
não há extremum, pois
não troca de sinal.
Passo 9
Concavidade e pontos de inflexão:
Derivando novamente,
Derivando novamente,
Os zeros são
e
. Testando sinais:
- Em
: ⇒ concavidade para cima. - Em
: ⇒ concavidade para baixo. - Em
: ⇒ concavidade para cima.
Logo há pontos de inflexão em
Passo 10
Esboço do gráfico com as informações:
- Grau 4, coeficiente líder positivo ⇒
quando . - Decresce até
, atinge mínimo em , depois cresce. - Inflexão em
, muda de concavidade de cima para baixo. - Em
toca o eixo com ponto de inflexão e retoma concavidade para cima. - Passa por
e .
Resposta
Domínio:
Interseções: ,
Sem simetria; sem assíntotas
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Mínimo local:
Concavidade: para cima em , para baixo em
Pontos de inflexão: ,
Esboço: curva de grau 4 que parte de , decresce cruzando em
, atinge mínimo em
, inflexiona em
, cruza e inflexiona em
, e sobe para
.
Interseções:
Sem simetria; sem assíntotas
Monotonicidade: decrescente em
Mínimo local:
Concavidade: para cima em
Pontos de inflexão:
Esboço: curva de grau 4 que parte de