1- Considere a função f(x)=x(x-2)^{3}. Use o seguinte roteiro para esboçar o gráfico da função:
a) Domínio
b) Intersecções com os eixos coordenados
c) Simetria
d) Assíntotas verticais e Horizontais
e) Intervalos de crescimento e de decrescimento
f) Valores máximo e mínimos locais
g) Concavidade e pontos de inflexão
h) Esboço da curva mediante as informações anteriores

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\,(x-2)^{3}
e pede, em sequência, domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, o esboço do gráfico. Usaremos conceitos de análise de funções polinomiais e derivadas.

Passo 2

Qual é o domínio de f?
Como f é um polinômio (produto de x por (x-2)^3), ela está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Quais são as interseções com os eixos?
Para o eixo x: resolvemos
f(x)=x\,(x-2)^{3}=0
que dá as raízes x=0 e x=2. Logo, os pontos são (0,0) e (2,0).
Para o eixo y: basta f(0)=0, já encontrado.

Passo 4

A função tem alguma simetria?
Verificamos f(-x)=(-x)((-x)-2)^{3}=x\,(x+2)^{3}\neq \pm f(x).
Logo, não há simetria par nem ímpar.

Passo 5

Existem assíntotas verticais ou horizontais?
Como f é polinomial de grau 4, não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

Quais são os pontos críticos e a monotonicidade?
Calculamos a derivada por regra do produto e cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x\,(x-2)^3\bigr] =(x-2)^3 + x\cdot3(x-2)^2 =(x-2)^2\bigl[(x-2)+3x\bigr] =(x-2)^2(4x-2).
Os zeros de f' são x=2 (multiplicidade 2) e x=\tfrac12.

Passo 7

Sinal de f' e monotonicidade:
  • Em (-\infty,\tfrac12): toma-se x=0, f'(0)=( -2)^2( -2)<0 f decresce.
  • Em (\tfrac12,2): toma-se x=1, f'(1)=1\cdot2>0 f cresce.
  • Em (2,\infty): toma-se x=3, f'(3)=1\cdot10>0 f cresce.

Passo 8

Extremos locais:
Só há mudança de decrescimento para crescimento em x=\tfrac12.
f\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac12\bigl(\tfrac12-2\bigr)^3 =\tfrac12\bigl(-\tfrac32\bigr)^3 =-\tfrac{27}{16}.
Logo há um mínimo local em \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{27}{16}\bigr). Em x=2 não há extremum, pois f' não troca de sinal.

Passo 9

Concavidade e pontos de inflexão:
Derivando novamente,
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[(x-2)^2(4x-2)\bigr] =12\,(x-2)(x-1).
Os zeros são x=1 e x=2. Testando sinais:
  • Em (-\infty,1): f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Em (1,2): f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Em (2,\infty): f''>0 ⇒ concavidade para cima.
    Logo há pontos de inflexão em
(1,f(1))=(1,-1) \quad\text{e}\quad (2,f(2))=(2,0).

Passo 10

Esboço do gráfico com as informações:
  • Grau 4, coeficiente líder positivo ⇒ f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
  • Decresce até x=\tfrac12, atinge mínimo em (\tfrac12,-\tfrac{27}{16}), depois cresce.
  • Inflexão em (1,-1), muda de concavidade de cima para baixo.
  • Em x=2 toca o eixo x com ponto de inflexão e retoma concavidade para cima.
  • Passa por (0,0) e (2,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseções: (0,0), (2,0)
Sem simetria; sem assíntotas
Monotonicidade: decrescente em \bigl(-\infty,\tfrac12\bigr), crescente em \bigl(\tfrac12,\infty\bigr)
Mínimo local: \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{27}{16}\bigr)
Concavidade: para cima em (-\infty,1)\cup(2,\infty), para baixo em (1,2)
Pontos de inflexão: (1,-1), (2,0)
Esboço: curva de grau 4 que parte de +\infty, decresce cruzando em (0,0), atinge mínimo em (\tfrac12,-\tfrac{27}{16}), inflexiona em (1,-1), cruza e inflexiona em (2,0), e sobe para +\infty.

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