2-Seja f f(x)=x^{3}+\frac{1}{x} para x \neq 0. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f (1)).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{3}+\frac{1}{x}
para x\neq0 e pede a reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(1,f(1)\bigr). O conteúdo é derivação de funções elementares e aplicação da fórmula da reta tangente em um ponto.

Passo 2

Para achar f(1), basta substituir x=1 em f(x), logo
f(1)=1^{3}+\frac{1}{1}=2.

Passo 3

Para obter a inclinação da reta tangente, calculamos a derivada de f. Usando a regra da soma e a regra do poder,
f'(x)=3x^{2}-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

A inclinação da tangente no ponto x=1 é
f'(1)=3\cdot1^{2}-\frac{1}{1^{2}}=3-1=2.

Passo 5

A equação da reta tangente em \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) é dada por
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, f(x_{0})=2 e f'(x_{0})=2, obtemos
y - 2 = 2(x - 1)
e, simplificando,
y = 2x.

Resposta

A equação da reta tangente é y=2x.

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