Em cada item, faça um esboço do conjunto A e calcule sua área:
A é o conjunto do plano tal que x \geq 0 e x^{3}-x \leq y \leq-x^{2}+5 x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: um esboço do conjunto A e o cálculo da área de A. As informações dadas são:
  • A é o conjunto dos pontos (x,y) do plano tais que x \geq 0 e
x^{3}-x \leq y \leq -x^{2}+5x.
Portanto temos duas curvas que limitam A: a curva inferior y = x^{3}-x e a curva superior y = -x^{2}+5x, além da restrição x\ge 0. A tarefa é desenhar (esboçar) essa região e calcular sua área.

Passo 2

Vamos encontrar as interseções entre as duas curvas, resolvendo
x^{3}-x = -x^{2}+5x.
Rearranjando os termos obtemos
x^{3}+x^{2}-6x = 0.
Fatorando em x temos
x(x^{2}+x-6)=0.
O polinômio quadrático fatoriza como x^{2}+x-6=(x+3)(x-2). Assim as raízes são
x=0,\quad x=-3,\quad x=2.
Como a região exige x\ge 0, as interseções relevantes são x=0 e x=2.

Passo 3

Agora determinamos para quais x (com x\ge 0) existe a desigualdade x^{3}-x \le y \le -x^{2}+5x. Basta verificar onde a curva superior é realmente maior que a inferior. Definimos a diferença
D(x)=\bigl(-x^{2}+5x\bigr)-\bigl(x^{3}-x\bigr)=-x^{3}-x^{2}+6x.
Fatorando:
D(x)=-x(x+3)(x-2).
Para x\ge 0 o sinal de D(x) é: em 0<x<2 temos x>0, x+3>0, x-2<0 então o produto x(x+3)(x-2) é negativo e D(x)=-(negativo) é positivo. Para x>2 o produto é positivo e D(x) fica negativo. Em x=0 e x=2 temos D(x)=0. Logo a desigualdade superior ≥ inferior ocorre exatamente para
0\le x\le 2.

Passo 4

Concluímos que a região A é a faixa no plano para x variando de 0 até 2, limitada abaixo por y = x^{3}-x e acima por y = -x^{2}+5x. Para ajudar no esboço (sem desenho gráfico aqui), alguns pontos chave:
  • Em x=0: ambas as curvas valem y=0 (ponto comum (0,0)).
  • Em x=1: y_{\text{inferior}}=1^{3}-1=0 e y_{\text{superior}}=-1+5=4 — mostra claramente a superior acima da inferior.
  • Em x=2: ambas as curvas valem y=8-2=6 e y=-4+10=6 (ponto comum (2,6)).
    Portanto o esboço é uma “lente” (região limitada entre as duas curvas) entre os pontos (0,0) e (2,6), para 0\le x\le 2.

Passo 5

Para calcular a área de uma região limitada verticalmente por duas curvas y=g(x) (acima) e y=h(x) (abaixo), com g(x)\ge h(x) em [a,b], usamos a fórmula
\text{Área} = \int_{a}^{b}\bigl(g(x)-h(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui g(x)=-x^{2}+5x, h(x)=x^{3}-x, e o intervalo é a=0, b=2. Então
\text{Área}(A)=\int_{0}^{2}\Bigl[(-x^{2}+5x)-(x^{3}-x)\Bigr]\,dx.Á

Passo 6

Simplificamos o integrando:
(-x^{2}+5x)-(x^{3}-x) = -x^{3}-x^{2}+6x.
Logo
\text{Área}(A)=\int_{0}^{2}\bigl(-x^{3}-x^{2}+6x\bigr)\,dx.Á

Passo 7

Integramos termo a termo. Uma primitiva de -x^{3} é -\dfrac{x^{4}}{4}. Uma primitiva de -x^{2} é -\dfrac{x^{3}}{3}. Uma primitiva de 6x é 3x^{2}. Assim uma primitiva do integrando é
F(x)=-\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}.

Passo 8

Avaliamo F entre 0 e 2:
F(2)=-\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{3}}{3}+3\cdot 2^{2} = -\frac{16}{4}-\frac{8}{3}+3\cdot 4.
Calcule passo a passo:
-\frac{16}{4} = -4,\quad 3\cdot 4 = 12,
então
F(2) = -4 -\frac{8}{3} + 12 = 8 - \frac{8}{3}.
Escrevendo 8=\dfrac{24}{3} obtemos
F(2) = \frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
E F(0)=0. Portanto
\text{Área}(A)=F(2)-F(0)=\frac{16}{3}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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