Em cada item, faça um esboço do conjunto
e calcule sua área:
é o conjunto do plano tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: um esboço do conjunto
e o cálculo da área de
. As informações dadas são:
-
é o conjunto dos pontos do plano tais que e
Portanto temos duas curvas que limitam
: a curva inferior
e a curva superior
, além da restrição
. A tarefa é desenhar (esboçar) essa região e calcular sua área.
Passo 2
Vamos encontrar as interseções entre as duas curvas, resolvendo
Rearranjando os termos obtemos
Fatorando em
temos
O polinômio quadrático fatoriza como
. Assim as raízes são
Como a região exige
, as interseções relevantes são
e
.
Passo 3
Agora determinamos para quais
(com
) existe a desigualdade
. Basta verificar onde a curva superior é realmente maior que a inferior. Definimos a diferença
Fatorando:
Para
o sinal de
é: em
temos
,
,
então o produto
é negativo e
(negativo) é positivo. Para
o produto é positivo e
fica negativo. Em
e
temos
. Logo a desigualdade superior ≥ inferior ocorre exatamente para
Passo 4
Concluímos que a região
é a faixa no plano para
variando de
até
, limitada abaixo por
e acima por
. Para ajudar no esboço (sem desenho gráfico aqui), alguns pontos chave:
- Em
: ambas as curvas valem (ponto comum ). - Em
: e — mostra claramente a superior acima da inferior. - Em
: ambas as curvas valem e (ponto comum ).
Portanto o esboço é uma “lente” (região limitada entre as duas curvas) entre os pontose , para .
Passo 5
Para calcular a área de uma região limitada verticalmente por duas curvas
(acima) e
(abaixo), com
em
, usamos a fórmula
Aqui
,
, e o intervalo é
,
. Então
Passo 6
Simplificamos o integrando:
Logo
Passo 7
Integramos termo a termo. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Assim uma primitiva do integrando é
Passo 8
Avaliamo
entre
e
:
Calcule passo a passo:
então
Escrevendo
obtemos
E
. Portanto