theta(t)=arctan!l(tfracy(t)x(t)r)=t (pois cos tneq0 >=nericamente)
Logo, a projeção no plano xy é a espiral de Archimedes r=t,;theta=t para 0<= t<=2pi.
Passo 3
No plano xy essa espiral começa em (0,0) quando t=0 e dá exatamente uma volta completa ao atingir t=2pi, alcançando raio r=2pi. O afastamento do centro cresce linearmente com t.
Passo 4
Agora analisamos o componente vertical z(t)=t. Conforme t aumenta, a curva sobe com velocidade constante de 1 na direção z. Quando a espiral no plano xy completa uma volta, o valor de z chega a 2pi.
Passo 5
Combinando ambos, a curva em R^3 é uma espiral cônica (ou hélice cônica), pois seu raio r e sua altura z aumentam na mesma proporção t, enquanto ela gira em torno do eixo z com ângulo theta=t.
Resposta
O gráfico é uma espiral cônica que:
Parte do ponto (0,0,0) em t=0.
Desenha no plano xy a espiral de Archimedes r=t,;theta=t.
Sobe linearmente em z até z=2pi quando completa exatamente uma volta.
Em coordenadas cilíndricas, a curva é
(r,theta,z)=(t,t,t), 0<= t<=2pi,
que, esquematicamente, é um cone “enrolado” por uma volta de espiral.