Em cada item, faça o gráfico da curva.
lx(t)=t cos t y(t)=t sen t , t in[0,2 pi] z(t)=t.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada em R^3 por
x(t)=tcos t, y(t)=tsen t, z(t)=t, tin[0,2pi],
e pede para fazermos o gráfico dessa curva. O conteúdo é curvas paramétricas em espaço e vamos usar coordenadas cilíndricas para entender a forma.

Passo 2

Observamos a projeção da curva no plano xy. Definindo o raio e o ângulo em coordenadas cilíndricas,
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2=raiz(tcos t)^2+(tsen t)^2=t,
theta(t)=arctan!l(tfracy(t)x(t)r)=t (pois cos tneq0 >=nericamente)
Logo, a projeção no plano xy é a espiral de Archimedes r=t,;theta=t para 0<= t<=2pi.

Passo 3

No plano xy essa espiral começa em (0,0) quando t=0 e dá exatamente uma volta completa ao atingir t=2pi, alcançando raio r=2pi. O afastamento do centro cresce linearmente com t.

Passo 4

Agora analisamos o componente vertical z(t)=t. Conforme t aumenta, a curva sobe com velocidade constante de 1 na direção z. Quando a espiral no plano xy completa uma volta, o valor de z chega a 2pi.

Passo 5

Combinando ambos, a curva em R^3 é uma espiral cônica (ou hélice cônica), pois seu raio r e sua altura z aumentam na mesma proporção t, enquanto ela gira em torno do eixo z com ângulo theta=t.

Resposta

O gráfico é uma espiral cônica que:
  1. Parte do ponto (0,0,0) em t=0.
  2. Desenha no plano xy a espiral de Archimedes r=t,;theta=t.
  3. Sobe linearmente em z até z=2pi quando completa exatamente uma volta.
    Em coordenadas cilíndricas, a curva é
(r,theta,z)=(t,t,t), 0<= t<=2pi,
que, esquematicamente, é um cone “enrolado” por uma volta de espiral.

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