Encontre uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2 (denotado por M2times2(R)). Sabemos que cada matriz tem 4 entradas e, portanto, esse espaço tem dimensão 4. Para encontrar uma base, precisamos de 4 matrizes que sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço.

Passo 2

Lembrando que uma base deve satisfazer dois requisitos:
  1. As matrizes são linearmente independentes.
  2. Qualquer matriz 2times2 pode ser escrita como combinação linear delas.

Passo 3

Escolhemos as matrizes canônicas, cada uma com um único “1” em uma posição distinta e “0” nas outras:
E11 = 1 & 0 0 & 0, E12 = 0 & 1 0 & 0,
E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1

Passo 4

Verificação de linearidade e geração:
  • Se
aE11 + bE12 + cE21 + dE22 = 0,
então olhando cada entrada vemos que a=b=c=d=0, logo são linearmente independentes.
  • Dada uma matriz genérica
A=x & y z & w,
temos imediatamente
A = x,E11 + y,E12 + z,E21 + w,E22,
ou seja, qualquer A está no span das Eij.

Resposta

Uma base de M2times2(R) é
1 & 0 0 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 0 0 & 1

Exercícios relacionados