Encontre uma base para o espaço vetorial das matrizes .
Passo 1
O enunciado pede uma base para o espaço vetorial de todas as matrizes (denotado por ). Sabemos que cada matriz tem 4 entradas e, portanto, esse espaço tem dimensão . Para encontrar uma base, precisamos de 4 matrizes que sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço.
Passo 2
Lembrando que uma base deve satisfazer dois requisitos:
As matrizes são linearmente independentes.
Qualquer matriz pode ser escrita como combinação linear delas.
Passo 3
Escolhemos as matrizes canônicas, cada uma com um único “1” em uma posição distinta e “0” nas outras:
E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1
Passo 4
Verificação de linearidade e geração:
Se
aE11 + bE12 + cE21 + dE22 = 0,
então olhando cada entrada vemos que a=b=c=d=0, logo são linearmente independentes.