Em cada item, faça o gráfico da curva.
rlx(t) & =raiz2 sen t2 y(t) & =raiz2 sen t2 z(t) & =cos t, t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em R^3
x(t)=raiz22sin t, y(t)=raiz22sin t, z(t)=cos t, tin[0,2pi]
Estamos em geometria de curvas no espaço e vamos mostrar que ela é um círculo (um “grande círculo”) obtido como interseção de uma esfera e de um plano, o que facilita o esboço.

Passo 2

Note que para todo t vale
x(t)=y(t)
Isto significa que a curva está contida no plano
y=x

Passo 3

Calculemos a soma dos quadrados:
x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 =l(tfracraiz22sin tr)^2 +l(tfracraiz22sin tr)^2 +(cos t)^2 =tfrac12sin^2t+tfrac12sin^2t+cos^2t =sin^2t+cos^2t =1
Logo a curva também está na esfera unitária
x^2+y^2+z^2=1

Passo 4

A interseção do plano y=x com a esfera x^2+y^2+z^2=1 é exatamente um círculo de raio 1 centrado na origem, contido naquele plano. Como y=x forma 45^circ com os eixos x e y, este é um grande círculo inclinado a 45^circ no plano xy.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1, dado pela interseção da esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 com o plano y=x.
No instante t=0 ela parte de (0,0,1), em t=tfracpi2 chega em l(tfracraiz22,tfracraiz22,0r), e percorre todo o círculo até t=2pi.
Para esboçar, desenhe a esfera unitária, trace o plano y=x (fazendo 45circ no plano xy) e marque a circunferência de interseção.

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