Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais dessas equações usando o método de equações características.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica que a equação é da forma
, onde
. Esse tipo de equação descreve movimentos oscilatórios, tipo um pêndulo ou uma mola.
Passo 3
A próxima coisa é montar a equação característica, que é uma ferramenta para achar soluções de equações diferenciais lineares. Para a nossa equação, a característica fica:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para
:
Aqui, o
representa a unidade imaginária, já que estamos tirando a raiz de um número negativo.
Passo 5
Com as raízes
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação de funções trigonométricas. A fórmula para isso é:
onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tivermos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes reais.