Resolva as seguintes equações diferenciais.
ddotx+25 x=0

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial ddotx + 25x = 0. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais dessas equações usando o método de equações características.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica que a equação é da forma ddotx + kx = 0, onde k = 25. Esse tipo de equação descreve movimentos oscilatórios, tipo um pêndulo ou uma mola.

Passo 3

A próxima coisa é montar a equação característica, que é uma ferramenta para achar soluções de equações diferenciais lineares. Para a nossa equação, a característica fica:
r^2 + 25 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para r:
r^2 = -25
r = pm raiz-25
r = pm 5i
Aqui, o i representa a unidade imaginária, já que estamos tirando a raiz de um número negativo.

Passo 5

Com as raízes r = pm 5i, a solução geral da equação diferencial é uma combinação de funções trigonométricas. A fórmula para isso é:
x(t) = A cos(5t) + B sin(5t)
onde A e B são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tivermos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial ddotx + 25x = 0 é:
x(t) = A cos(5t) + B sin(5t)
onde A e B são constantes reais.

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