Resolva as seguintes equações diferenciais.
ddoti-36 u=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
ddoti(t) - 36,u(t) = 0
Esta é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
ddotih(t) = 0
A equação característica é r^2=0, com raiz dupla r=0. Logo a solução homogênea é
ih(t) = C1 + C2,t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Procuramos uma solução particular ip(t) tal que
ddotip(t) = 36,u(t)
Integrando duas vezes em relação a t, obtemos
ip(t) =36 integral0^t!integral0^s u(tau),dtau,ds
Aqui escolhemos os limites de integração em 0 para simplificar; constantes adicionais gerariam termos que já estão em ih.

Passo 4

A solução geral é a soma de ih e ip:
i(t) = C1 + C2,t +36 integral0^t!integral0^s u(tau),dtau,ds
Em alternativa, usando a propriedade de convolução dupla, pode-se escrever
i(t) = C1 + C2,t +36 integral0^t (t-tau),u(tau),dtau

Resposta

i(t) = C1 + C2,t +36 integral0^t!integral0^s u(tau),dtau,ds,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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