Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Esta é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
, com raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Procuramos uma solução particular
tal que
Integrando duas vezes em relação a
, obtemos
Aqui escolhemos os limites de integração em
para simplificar; constantes adicionais gerariam termos que já estão em
.
Passo 4
A solução geral é a soma de
e
:
Em alternativa, usando a propriedade de convolução dupla, pode-se escrever
Resposta
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.