O enunciado nos dá uma superfície parametrizada por dois parâmetros theta e alpha, com
x = (2 + cosalpha)costheta, y = (2 + cosalpha)sentheta, z = senalpha,
e os domínios 0 <= theta <= 2pi, 0 <= alpha <= 2pi. O conteúdo é superfícies de revolução e curvas parametrizadas em R^3. Para esboçar o gráfico, vamos identificar a forma geométrica implícita dessa parametrização.
Passo 2
Note que, para cada valor fixo de alpha, o ponto (x,y) satisfaz
raizx^2 + y^2 = 2 + cosalpha
e z = senalpha. Portanto, ao variar theta de 0 a 2pi, o traçado em cada nível de z é um círculo de raio 2 + cosalpha no plano z=senalpha, centrado no eixo z.
Passo 3
Para eliminar alpha, note que
raizx^2 + y^2 - 2 = cosalpha, z = senalpha
Como cos^2alpha + sen^2alpha = 1, segue-se a equação implícita
l(raizx^2 + y^2 - 2r)^2 + z^2 = 1
Passo 4
A equação
l(raizx^2 + y^2 - 2r)^2 + z^2 = 1
é justamente a de um toro de revolução obtido girando um círculo de raio 1, centrado em (2,0) no plano xz, em torno do eixo z. O “raio maior” do toro é 2 e o “raio menor” é 1.
Passo 5
Para desenhá-lo, imagine o perfil: o círculo
(x-2)^2 + z^2 = 1
no plano y=0. Girando esse círculo ao redor do eixo z gera exatamente o toro acima. Assim, o gráfico é esse anel toroidal suave em R^3.
Resposta
A superfície é um toro de revolução de raio maior 2 e raio menor 1, cuja equação implícita é