P2 Determine a equação paramétrica:
llx=u & 0 <= u <= 2 y=v z=6-3 u-2 v, 0 <= v <= 3-3 u2

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte do plano
3x+2y+z=6
delimitada pelos planos coordenados x=0, y=0 e pela reta de interseção com z=0. Para isso vamos usar parâmetros u e v de forma que cubram toda essa região triangular.

Passo 2

Escolhemos
x = u, y = v
como parâmetros. Substituindo na equação do plano, obtemos
3u + 2v + z = 6
e daí
z = 6 - 3u - 2v

Passo 3

Reunindo, a parametrização cartesiana é
x(u,v) = u, y(u,v) = v, z(u,v) = 6 - 3u - 2v,
com domínio dado por
0 <= u <= 2, 0 <= v <= 3 - tfrac3u2,
pois a linha z=0 no plano corresponde a 3u+2v=6, ou seja v=3-tfrac3u2.

Passo 4

Em forma vetorial, podemos escrever
r(u,v) = l(u,,v,,6-3u-2vr) = (0,0,6)+u,(1,0,-3)+v,(0,1,-2),
onde (u,v) varia no triângulo descrito acima.

Resposta

r(u,v) = l(u,,v,,6 - 3u - 2vr), 0 <= u <= 2, 0 <= v <= 3 - tfrac3u2

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