Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
, então
se, e somente se,
. Também determine quando
.
Se
Passo 1
O enunciado trabalha com a definição de divisão em um corpo (por exemplo
) e quer mostrar, usando apenas as propriedades de adição e multiplicação e seus teoremas associados, que, para
,
e depois aplicar esse resultado para determinar quando
Vamos usar as seguintes propriedades:
- Definição de divisão:
. - Igualdade preservada pela multiplicação: se
então . - Associatividade e comutatividade da multiplicação.
- Inverso multiplicativo:
. - Elemento neutro da multiplicação:
.
Passo 2
Prova de “
”:
Pela definição de divisão
Pela definição de divisão
Multiplicamos ambos os lados por
(igualdade preservada):
Pela associatividade
Como
(inverso multiplicativo) e
(neutro),
Agora multiplicamos ambos os lados por
:
Usando associatividade e comutatividade para agrupar
e o fato de
, segue
logo
Passo 3
Prova de “
”:
Partimos de
Partimos de
Multiplicamos ambos os lados por
:
(pela associatividade). Como
e
,
Agora multiplicamos por
:
(associatividade e comutatividade). Como
, fica
ou seja, pela definição de divisão,
Passo 4
Agora aplicamos o resultado ao caso
. Pelo que acabamos de provar, isso é equivalente a
isto é
Em um corpo (por exemplo
), essa igualdade ocorre exatamente quando
sempre lembrando que
(para a divisão estar bem definida).
Resposta
Para
:
E