Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se b, d neq 0, então ab=cd se, e somente se, a d=b c. Também determine quando ab=ba.

Passo 1

O enunciado trabalha com a definição de divisão em um corpo (por exemplo R) e quer mostrar, usando apenas as propriedades de adição e multiplicação e seus teoremas associados, que, para b,dneq0,
ab=cd Long<=ftrightarrow ad=bc,
e depois aplicar esse resultado para determinar quando
ab=ba
Vamos usar as seguintes propriedades:
  • Definição de divisão: xy=xcdot y^-1.
  • Igualdade preservada pela multiplicação: se X=Y então XZ=YZ.
  • Associatividade e comutatividade da multiplicação.
  • Inverso multiplicativo: yneq0implies ycdot y^-1=1.
  • Elemento neutro da multiplicação: xcdot1=x.

Passo 2

Prova de “ ab=cdimplies ad=bc”:
Pela definição de divisão
ab=cd Longrightarrow acdot b^-1 ;=; ccdot d^-1
Multiplicamos ambos os lados por b (igualdade preservada):
(acdot b^-1),b ;=;(ccdot d^-1),b
Pela associatividade
a,(b^-1b)=c,(d^-1b)
Como b^-1b=1 (inverso multiplicativo) e acdot1=a (neutro),
a = c,(d^-1b)
Agora multiplicamos ambos os lados por d:
ad = l[c,(d^-1b)r],d
Usando associatividade e comutatividade para agrupar d^-1d e o fato de d^-1d=1, segue
ad = cl(b,(d^-1d)r) = c,(bcdot1) = c,b,
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ad=bc

Passo 3

Prova de “ ad=bcimpliesab=cd”:
Partimos de
ad = bc
Multiplicamos ambos os lados por d^-1:
ad,d^-1 = bc,d^-1 Longrightarrow a,(d,d^-1) = b,(c,d^-1)
(pela associatividade). Como d,d^-1=1 e acdot1=a,
a = b,(c,d^-1)
Agora multiplicamos por b^-1:
a,b^-1 = l[b,(c,d^-1)r],b^-1 Longrightarrow (c,d^-1),(b,b^-1)
(associatividade e comutatividade). Como b,b^-1=1, fica
a,b^-1 = c,d^-1,
ou seja, pela definição de divisão,
ab = cd

Passo 4

Agora aplicamos o resultado ao caso ab=ba. Pelo que acabamos de provar, isso é equivalente a
acdot a = bcdot b,
isto é
a^2 = b^2
Em um corpo (por exemplo R), essa igualdade ocorre exatamente quando
a = b ou a = -,b,
sempre lembrando que bneq0 (para a divisão estar bem definida).

Resposta

Para b,dneq0:
ab=cd Long<=ftrightarrow ad=bc
E
ab=ba Long<=ftrightarrow a^2=b^2 Long<=ftrightarrow a=b ou a=-b(,bneq0,)

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