Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
, supondo
e
. (Sugestão: Opte por escrever
em lugar de
em lugar de
.)
Passo 1
Resumo do que queremos provar e conteúdo usado
O enunciado pede para mostrar que, em um corpo onde valem as propriedades usuais de adição e multiplicação, vale a igualdade
O enunciado pede para mostrar que, em um corpo onde valem as propriedades usuais de adição e multiplicação, vale a igualdade
supondo
e
.
Usaremos as definições e propriedades de corpos (ou anéis com unidade e inverso multiplicativo), em particular:
– existência de elemento neutro e de inverso multiplicativo
para todo
,
– unicidade do inverso,
– associatividade e comutatividade da multiplicação,
– propriedades de inversos ( ).
Usaremos as definições e propriedades de corpos (ou anéis com unidade e inverso multiplicativo), em particular:
– existência de elemento neutro
– unicidade do inverso,
– associatividade e comutatividade da multiplicação,
– propriedades de inversos (
Passo 2
Expressão de
e
em termos de inversos
Por definição de divisão,
Por definição de divisão,
Passo 3
Determinar
Pelo teorema do inverso do produto, o inverso de é
Pelo teorema do inverso do produto, o inverso de
Justificativa: seja
. Então pela associatividade e pela definição de inverso,
logo
é o inverso de
. Pela unicidade do inverso segue
.
Passo 4
Comparar
com
Substituindo em o resultado do passo anterior, temos
Substituindo em
pelo passo 3.
Agora uso associatividade três vezes para reagrupar:
Agora uso associatividade três vezes para reagrupar:
Mas
pelo axioma do inverso, e
pelo axioma do elemento neutro. Logo