Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
ab=a cb c, supondo b neq 0 e c neq 0. (Sugestão: Opte por escrever a b^-1 em lugar de ab e(a c)(b c)^-1 em lugar de a cb c.)

Passo 1

Resumo do que queremos provar e conteúdo usado
O enunciado pede para mostrar que, em um corpo onde valem as propriedades usuais de adição e multiplicação, vale a igualdade
ab = a,cb,c,
supondo bneq0 e cneq0.
Usaremos as definições e propriedades de corpos (ou anéis com unidade e inverso multiplicativo), em particular:
– existência de elemento neutro 1 e de inverso multiplicativo x^-1 para todo xneq0,
– unicidade do inverso,
– associatividade e comutatividade da multiplicação,
– propriedades de inversos ( (xy)^-1=y^-1x^-1).

Passo 2

Expressão de tfracab e tfraca,cb,c em termos de inversos
Por definição de divisão,
ab = a,b^-1 e a,cb,c = (a,c),(b,c)^-1

Passo 3

Determinar (b,c)^-1
Pelo teorema do inverso do produto, o inverso de b,c é
(b,c)^-1 = c^-1,b^-1
Justificativa: seja x=c^-1b^-1. Então pela associatividade e pela definição de inverso,
(b,c),x = b,(c,c^-1),b^-1 = bcdot1cdot b^-1 = b,b^-1 =1,
logo x é o inverso de b,c. Pela unicidade do inverso segue x=(b,c)^-1.

Passo 4

Comparar a,b^-1 com (a,c)(b,c)^-1
Substituindo em (a,c)(b,c)^-1 o resultado do passo anterior, temos
(a,c)(b,c)^-1 = (a,c)(c^-1,b^-1)
pelo passo 3.
Agora uso associatividade três vezes para reagrupar:
(a,c)(c^-1,b^-1) = a,(c,c^-1),b^-1
Mas c,c^-1=1 pelo axioma do inverso, e acdot1=a pelo axioma do elemento neutro. Logo
a,(c,c^-1),b^-1 = acdot1cdot b^-1 = a,b^-1 = ab

Resposta

ab ;=; a,cb,c

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