Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
, se
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando apenas as propriedades de adição e multiplicação (e seus teoremas sobre inversos), que
sob as condições
,
e
. Vamos usar como definição de divisão que, para todo
com
,
além dos teoremas sobre inverso de produto, inverso de inverso, associatividade e comutatividade da multiplicação.
Passo 2
Pela definição de divisão,
Passo 3
Também pela definição de divisão temos
Logo
Passo 4
Pelo teorema do inverso de um produto, para quaisquer
vale
Aplicando com
e
,
Passo 5
Pelo teorema do inverso de inverso, para todo
vale
. Assim
e portanto
Passo 6
Como
pela definição de inverso, temos
e substituindo em passo 2 obtém-se
Passo 7
Reescrevendo tudo em termos de inversos e usando associatividade e comutatividade do produto,
Passo 8
Novamente pelo teorema do inverso de produto,
Então
Passo 9
Pela definição de divisão
, logo
Isso conclui a demonstração.