Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
ab / cd=a db c, se b neq 0, c neq 0 e d neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando apenas as propriedades de adição e multiplicação (e seus teoremas sobre inversos), que
ab;/;cd ;=; a,db,c,
sob as condições bneq0, cneq0 e dneq0. Vamos usar como definição de divisão que, para todo x,y com yneq0,
xy ;=; xcdot y^-1,
além dos teoremas sobre inverso de produto, inverso de inverso, associatividade e comutatividade da multiplicação.

Passo 2

Pela definição de divisão,
tfracabtfraccd ;=; l(tfracabr)cdotl(tfraccdr)^-1

Passo 3

Também pela definição de divisão temos
ab=acdot b^-1 e cd=ccdot d^-1
Logo
l(tfraccdr)^-1 = l(ccdot d^-1r)^-1

Passo 4

Pelo teorema do inverso de um produto, para quaisquer x,yneq0 vale
(xcdot y)^-1 = y^-1cdot x^-1
Aplicando com x=c e y=d^-1,
l(ccdot d^-1r)^-1 = (d^-1)^-1,cdot,c^-1

Passo 5

Pelo teorema do inverso de inverso, para todo xneq0 vale (x^-1)^-1=x. Assim
(d^-1)^-1=d,
e portanto
l(tfraccdr)^-1 = dcdot c^-1

Passo 6

Como c^-1=1/c pela definição de inverso, temos
dcdot c^-1 = dc,
e substituindo em passo 2 obtém-se
tfracabtfraccd = l(tfracabr)cdotdc

Passo 7

Reescrevendo tudo em termos de inversos e usando associatividade e comutatividade do produto,
l(tfracabr)cdotdc = l(acdot b^-1r)cdotl(dcdot c^-1r) = (acdot d),l(b^-1cdot c^-1r)

Passo 8

Novamente pelo teorema do inverso de produto,
(bcdot c)^-1 = c^-1cdot b^-1 = b^-1cdot c^-1
Então
(acdot d),l(b^-1cdot c^-1r) = (acdot d),(b,c)^-1

Passo 9

Pela definição de divisão (b,c)^-1=1/(b,c), logo
(acdot d),(b,c)^-1 = a,db,c
Isso conclui a demonstração.

Resposta

ab;/;cd ;=; a,db,c

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