Em cada item, faça o gráfico da superfície dada pela equação.
2 x-3 z=6.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da superfície em R^3 dada pela equação
2x - 3z = 6,
que é uma superfície plana. Para desenhar um plano no espaço, vamos reescrevê-lo em forma de função e encontrar duas retas geratrizes (interseções com planos coordenados), sabendo que, como y não aparece na equação, o plano será paralelo ao eixo y.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando z, temos
-3z = 6 - 2x Longrightarrow z = 23,x - 2
Isto mostra que, para cada par (x,y), o valor de z só depende de x, e o plano se obtém “esticando” a reta z=(2/3)x-2 ao longo de y.

Passo 3

Vamos achar dois pontos dessa reta no plano y=0:
Quando x=0,
z = 23cdot 0 - 2 = -2,
logo o ponto A=(0,0,-2).
Quando x=3,
z = 23cdot 3 - 2 = 0,
logo o ponto B=(3,0,0).

Passo 4

Como y é livre, cada ponto (x,0,z) acima gera uma reta paralela ao eixo y. Em particular, dos pontos A e B extrudimos as retas
Ay = (0,y,-2)mid yinR, By = (3,y,0)mid yinR
Essas duas retas determinam o plano buscado.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
desenhe os eixos x (para a direita), y (para dentro da página) e z (para cima).
marque A=(0,0,-2) e B=(3,0,0);
desenhe a reta entre A e B no plano y=0;
paralelamente ao eixo y, a partir de A e B, trace duas retas retas e complete o paralelogramo que representa parte do plano.

Resposta

O gráfico é um plano paralelo ao eixo y que, quando interceptado pelo plano y=0, passa pelos pontos (0,0,-2) e (3,0,0). Matemáticamente, é a superfície
(x,y,z)inR^3 mid z = tfrac23x - 2

Exercícios relacionados