Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), …
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada da função
para
(ou seja, todo número real diferente de zero). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a derivada de uma função nos diz como ela está mudando em relação a
. No caso de funções logarítmicas, há uma regra específica para encontrar a derivada.
Passo 3
Lembrando da regra da derivada para o logaritmo natural, temos que:
onde
é uma função de
.
Passo 4
No nosso exercício, a função dentro do logaritmo é
. Então, vamos identificar
e calcular sua derivada.
Passo 5
A derivada de
depende do valor de
:
- Para
, e, portanto, . - Para
, e, portanto, .
Passo 6
Aplicando a regra da derivada do logaritmo natural com
:
Substituindo a derivada de
:
onde
é a função que retorna 1 para
e -1 para
. Simplificando, obtemos:
Resposta
A derivada da função
é: