Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
f(x)=ln |x|, x in R^*. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), … ulcorner

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada da função f(x) = ln |x| para x in R^* (ou seja, todo número real diferente de zero). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a derivada de uma função nos diz como ela está mudando em relação a x . No caso de funções logarítmicas, há uma regra específica para encontrar a derivada.

Passo 3

Lembrando da regra da derivada para o logaritmo natural, temos que:
ddx ln(u) = 1u cdot dudx
onde u é uma função de x .

Passo 4

No nosso exercício, a função dentro do logaritmo é |x| . Então, vamos identificar u = |x| e calcular sua derivada.

Passo 5

A derivada de |x| depende do valor de x :
  • Para x > 0 , |x| = x e, portanto, ddx |x| = 1 .
  • Para x < 0 , |x| = -x e, portanto, ddx |x| = -1 .

Passo 6

Aplicando a regra da derivada do logaritmo natural com u = |x| :
ddx ln |x| = 1|x| cdot ddx |x|
Substituindo a derivada de |x| :
ddx ln |x| = 1|x| cdot sgn(x)
onde sgn(x) é a função que retorna 1 para x > 0 e -1 para x < 0 . Simplificando, obtemos:
ddx ln |x| = 1x

Resposta

A derivada da função f(x) = ln |x| é:
f'(x) = 1x, para todo x in R^*

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