Express F(t)=lrsin t & 0<t<pi sin 2 t & pi<t<2 pi sin 3 t & t>2 pi in terms of Heavisides unit step functions.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(t)= sin t, & 0<t<pi, sin 2t, & pi<t<2pi, sin 3t, & t>2pi,
e pede para reescrevê-la usando funções degrau de Heaviside H(t). Vamos usar a ideia de ativar cada ramo apenas no seu intervalo, com combinações de H(t-a).

Passo 2

Para o intervalo 0<t<pi queremos “ligar” sin t a partir de t=0 e “desligar” em t=pi. Isso se faz com
sin tl[H(t)-H(t-pi)r]

Passo 3

Para o intervalo pi<t<2pi “ligamos” sin(2t) a partir de t=pi e “desligamos” em t=2pi, isto é
sin(2t)l[H(t-pi)-H(t-2pi)r]

Passo 4

Finalmente, para t>2pi basta “ligar” sin(3t) a partir de t=2pi:
sin(3t),H(t-2pi)

Passo 5

Somando todos os trechos temos a representação completa:
F(t) =sin tl[H(t)-H(t-pi)r] +sin(2t)l[H(t-pi)-H(t-2pi)r] +sin(3t),H(t-2pi)

Resposta

F(t) =sin tl[H(t)-H(t-pi)r] +sin(2t)l[H(t-pi)-H(t-2pi)r] +sin(3t),H(t-2pi)

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