Em cada item, faça o que se pede:
Determine f^{\prime}(x) para f(x)=x \cos (x)+\operatorname{tg}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x\cos(x) + \tan(x).
O conteúdo necessário é a regra do produto para a primeira parcela e a regra de derivação da tangente para a segunda.

Passo 2

Para x\cos(x) aplicamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\cos(x), então
\frac{d}{dx}[u\,v] = u'\,v + u\,v'.
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=-\sin(x), logo
\frac{d}{dx}[x\cos(x)] = 1\cdot\cos(x) + x\cdot(-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x).

Passo 3

Para \tan(x) usamos a derivada conhecida:
\frac{d}{dx}[\tan(x)] = \operatorname{sec}^2(x).
Somando com a parcela anterior, obtemos f'(x).

Resposta

f'(x) = \cos(x) - x\sin(x) + \operatorname{sec}^2(x).

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