Questão 4: Considere a função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=2 x^{2}-5 x+6. Pedese
a) ( 0,5 ponto) Calcule f(a+b), onde a e b são números reais quaisquer.
b) (1 ponto) Determine a derivada de f em x=1, utilizando a definiçāo. Ou seja, calcule um dos seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\right] \text { ou } \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função \;f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2x^{2}-5x+6
e pede duas coisas:
  1. Calcular \,f(a+b), onde a e b são números reais quaisquer.
  2. Determinar a derivada de f em x=1 usando a definição do limite
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.

Passo 2

Para achar \,f(a+b), basta substituir x=a+b em f(x):
f(a+b)=2(a+b)^{2}-5(a+b)+6.
Agora expandimos:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
então
f(a+b) =2\bigl(a^{2}+2ab+b^{2}\bigr)-5a-5b+6 =2a^{2}+4ab+2b^{2}-5a-5b+6.

Passo 3

Vamos calcular f'(1) pela definição. Primeiro encontramos f(1) e f(1+h):
f(1)=2\cdot1^{2}-5\cdot1+6=2-5+6=3.
f(1+h)=2(1+h)^{2}-5(1+h)+6 =2\bigl(1+2h+h^{2}\bigr)-5-5h+6 =2+4h+2h^{2}-5-5h+6 =3 - h +2h^{2}.
Agora a diferença dividida por h é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{\bigl(3 - h +2h^{2}\bigr)-3}{h} =\frac{-h+2h^{2}}{h} =-1+2h.
Por fim, tomamos o limite h\to0:
f'(1) =\lim_{h\to0}\bigl(-1+2h\bigr) =-1.

Resposta

(a) \,f(a+b)=2a^{2}+4ab+2b^{2}-5a-5b+6.
(b) \,f'(1)=-1.

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