Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
(15 pontos) Considere a matriz
Utilizando o desenvolvimento de Laplace ao longo da terceira linha, calcule det(A).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada 4x4 chamada A e precisamos calcular o determinante dela, ou seja, det(A). Para isso, vamos usar o método do desenvolvimento de Laplace, focando na terceira linha da matriz. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela tem inversa ou não. Para matrizes maiores que 2x2, usamos o desenvolvimento de Laplace, que é uma forma de expandir o determinante usando menores e cofatores.
Passo 3
Vamos focar na terceira linha da matriz A , que é:
cccc 2 & 0 & -1 & 0
Cada elemento dessa linha vai ser multiplicado pelo seu cofator correspondente, e depois somados para achar o determinante.
Passo 4
Agora, vamos calcular os cofatores para cada elemento da terceira linha. O cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j times menor(Aij)
onde menor(Aij) é o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha i e a coluna j .
Vamos calcular para cada elemento da terceira linha:
Elemento (3,1): 2
Removendo a 3ª linha e 1ª coluna, a matriz menor fica:
(ccc 0 & 3 & 1 2 & 1 & 2 2 & 1 & -4 )
Calculando o determinante dessa matriz menor:
det = 0 times (1 times (-4) - 2 times 1) - 3 times (2 times (-4) - 2 times 2) + 1 times (2 times 1 - 2 times 1) = 0 + 24 + 0 = 24
Cofator:
C31 = (-1)^3+1 times 24 = 1 times 24 = 24
Elemento (3,2): 0
Qualquer elemento multiplicado por zero vai dar zero, então não precisamos calcular o cofator.
Elemento (3,3): -1
Removendo a 3ª linha e 3ª coluna, a matriz menor fica:
(ccc -1 & 0 & 1 0 & 2 & 2 2 & 2 & -4 )
Calculando o determinante dessa matriz menor:
det = -1 times (2 times (-4) - 2 times 2) - 0 + 1 times (0 times 2 - 2 times 2) = (-1)(-8 - 4) + 0 + 1(0 - 4) = 12 - 4 = 8
Cofator:
C33 = (-1)^3+3 times 8 = 1 times 8 = 8
Elemento (3,4): 0
Novamente, multiplicado por zero, o resultado é zero.
Passo 5
Agora, vamos somar os produtos dos elementos da terceira linha pelos seus respectivos cofatores:
det(A) = 2 times 24 + 0 times C32 + (-1) times 8 + 0 times C34 = 48 + 0 - 8 + 0 = 40