Seja M=C^2=(z1, z2): z1, z2 in C espaço vetorial complexo.
Prove que beta=(1,0),(0,1) é base de C^2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial sobre C
M = C^2 = (z1,z2)mid z1,z2inC
e pede para provar que
beta = (1,0),(0,1)
é uma base de M. Para isso precisamos mostrar dois pontos:
  1. beta é linearmente independente.
  2. beta gera todo M.

Passo 2

Para verificar a independência linear, considere uma combinação linear nula:
alpha1(1,0) + alpha2(0,1) = (0,0),
onde alpha1,alpha2inC. Essa igualdade dá o sistema
(alpha1,,alpha2) = (0,0),
logo alpha1 = 0 e alpha2 = 0. Como a única combinação que produz o vetor nulo é trivial, beta é linearmente independente.

Passo 3

Para mostrar que beta gera M, tome um vetor arbitrário (z1,z2)inC^2. Podemos escrever
(z1,z2) = z1,(1,0) + z2,(0,1)
Como z1 e z2 são escalares em C, todo vetor de M é combinação linear de (1,0) e (0,1). Portanto beta gera M.

Resposta

Como beta é linearmente independente e gera C^2, concluímos que beta é base de C^2.

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