Seja
espaço vetorial complexo.
Prove que
é base de
.
Prove que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial sobre
e pede para provar que
é uma base de . Para isso precisamos mostrar dois pontos:
é uma base de
-
é linearmente independente. -
gera todo .
Passo 2
Para verificar a independência linear, considere uma combinação linear nula:
onde
. Essa igualdade dá o sistema
logo
e
. Como a única combinação que produz o vetor nulo é trivial,
é linearmente independente.
Passo 3
Para mostrar que
gera
, tome um vetor arbitrário
. Podemos escrever
Como
e
são escalares em
, todo vetor de
é combinação linear de
e
. Portanto
gera
.
Resposta
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que
é base de
.