Determine os números reais que podem ser atribuídos a a e b de tal modo que A^-1=A dada a matriz A=[lla & 1 0 & b].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números reais a e b que fazem com que a inversa da matriz A seja igual à própria matriz A . O conteúdo aqui envolve matrizes e suas inversas, então vamos usar conceitos básicos de álgebra linear para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2 . Para uma matriz geral
A = a & c d & b ,
a inversa A^-1 é dada por
A^-1 = 1det(A) b & -c -d & a ,
onde det(A) = a cdot b - c cdot d é o determinante da matriz.

Passo 3

No nosso caso, a matriz A é
A = a & 1 0 & b
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = a cdot b - 1 cdot 0 = a cdot b
Então, a inversa de A é
A^-1 = 1a cdot b b & -1 0 & a = ba cdot b & -1a cdot b 0 & aa cdot b = 1a & -1a cdot b 0 & 1b

Passo 4

O enunciado diz que A^-1 = A . Então, igualamos as duas matrizes:
1a & -1a cdot b 0 & 1b = a & 1 0 & b
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. 1a = a
  2. -1a cdot b = 1
  3. 1b = b

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação 1a = a :
Multiplicando ambos os lados por a :
1 = a^2 implies a^2 = 1 implies a = 1 ou a = -1

Passo 6

Agora, a terceira equação 1b = b :
Multiplicando ambos os lados por b :
1 = b^2 implies b^2 = 1 implies b = 1 ou b = -1

Passo 7

A segunda equação é -1a cdot b = 1 :
Multiplicando ambos os lados por a cdot b :
-1 = a cdot b
Isso significa que o produto de a e b deve ser igual a -1 .

Passo 8

Agora, vamos combinar as possíveis soluções para a e b :
  • Se a = 1 , então 1 cdot b = -1 implies b = -1 .
  • Se a = -1 , então -1 cdot b = -1 implies b = 1 .

Resposta

Os valores reais que satisfazem A^-1 = A são:
  • a = 1 e b = -1 ,
  • ou a = -1 e b = 1 .

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