Questão 2: Seja uma matriz quadrada de ordem .
(a) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz .
(b) (5 pontos) é inversível? Justifique.
(c) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz obtida de através da aplicação das seguintes operações elementares:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem 3 times 3 com determinante det(A) = -4 . A questão está dividida em três partes:
a) Calcular o determinante da matriz M = -14 A^-1 A^T A^4 A^-1 .
b) Verificar se M é inversível e justificar.
c) Calcular o determinante da matriz E , que é obtida a partir de A passando por uma sequência de operações elementares de linha.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria por trás das operações.
Passo 2
Parte a) Vamos calcular o determinante da matriz M = -14 A^-1 A^T A^4 A^-1 .
Primeiro, precisamos lembrar de algumas propriedades dos determinantes:
det(kB) = k^n det(B) , onde B é uma matriz n times n e k é um escalar.
det(B^-1) = 1det(B) .
det(B^T) = det(B) .
det(B cdot C) = det(B) cdot det(C) .
Aplicando essas propriedades à matriz M :
det(M) = det(-14 A^-1 A^T A^4 A^-1)
Como A é 3 times 3 , a constante -14 será elevada à terceira potência:
det(-14)^3 = (-14)^3 = -164
Agora, multiplicamos os determinantes das matrizes: