Questão 2: Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 times 3 com det(A)=-4.
(a) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz M=-14 A^-1 A^T A^4 A^-1.
(b) (5 pontos) M é inversível? Justifique.
(c) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz E obtida de A através da aplicação das seguintes operações elementares:
A xrightarrowL1 long<=ftrightarrow L3 B xrightarrowL2 longrightarrow 12 L2 C xrightarrowL2 long<=ftrightarrow L3 D xrightarrowL2 longrightarrow L2-6 L1 E

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem 3 times 3 com determinante det(A) = -4 . A questão está dividida em três partes:
a) Calcular o determinante da matriz M = -14 A^-1 A^T A^4 A^-1 .
b) Verificar se M é inversível e justificar.
c) Calcular o determinante da matriz E , que é obtida a partir de A passando por uma sequência de operações elementares de linha.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria por trás das operações.

Passo 2

Parte a) Vamos calcular o determinante da matriz M = -14 A^-1 A^T A^4 A^-1 .
Primeiro, precisamos lembrar de algumas propriedades dos determinantes:
  1. det(kB) = k^n det(B) , onde B é uma matriz n times n e k é um escalar.
  2. det(B^-1) = 1det(B) .
  3. det(B^T) = det(B) .
  4. det(B cdot C) = det(B) cdot det(C) .
Aplicando essas propriedades à matriz M :
det(M) = det(-14 A^-1 A^T A^4 A^-1)
Como A é 3 times 3 , a constante -14 será elevada à terceira potência:
det(-14)^3 = (-14)^3 = -164
Agora, multiplicamos os determinantes das matrizes:
det(M) = -164 cdot det(A^-1) cdot det(A^T) cdot det(A^4) cdot det(A^-1)
Sabemos que:
  • det(A^T) = det(A) = -4
  • det(A^-1) = 1det(A) = 1-4 = -14
  • det(A^4) = (det(A))^4 = (-4)^4 = 256
Substituindo esses valores:
det(M) = -164 cdot (-14) cdot (-4) cdot 256 cdot (-14)

Passo 3

Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os determinantes:
det(M) = -164 cdot (-14) cdot (-4) cdot 256 cdot (-14)
Vamos calcular cada parte:
  1. -164 cdot (-14) = 1256
  2. 1256 cdot (-4) = -4256 = -164
  3. -164 cdot 256 = -4
  4. -4 cdot (-14) = 1
Portanto, det(M) = 1 .

Passo 4

Parte b) Agora, vamos verificar se a matriz M é inversível.
Sabemos que uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Calculamos anteriormente que det(M) = 1 .
Como 1 neq 0 , isso significa que M é inversível.

Passo 5

Parte c) Precisamos calcular o determinante da matriz E , que é obtida a partir de A através de uma sequência de operações elementares de linha:
A xrightarrowL1 rightarrow L3 B xrightarrowL2 12 L2 C xrightarrowL2 rightarrow L3 D xrightarrowL2 L2 - 6 L1 E
Vamos lembrar como cada operação afeta o determinante:
  1. Troca de duas linhas ( Li rightarrow Lj ): multiplica o determinante por -1 .
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar k ( Li k Li ): multiplica o determinante por k .
  3. Adição de múltiplos de uma linha a outra ( Li Li + k Lj ): não altera o determinante.
Vamos aplicar essas regras passo a passo:
  1. A xrightarrowL1 rightarrow L3 B :
    • Troca de linhas: det(B) = -det(A) .
  2. B xrightarrowL2 12 L2 C :
    • Multiplicação da linha 2 por 12 : det(C) = 12 det(B) .
  3. C xrightarrowL2 rightarrow L3 D :
    • Troca de linhas: det(D) = -det(C) .
  4. D xrightarrowL2 L2 - 6 L1 E :
    • Adição de múltiplos de uma linha a outra: det(E) = det(D) .
Agora, vamos calcular det(E) em termos de det(A) :
det(B) = -det(A) = -(-4) = 4
det(C) = 12 det(B) = 12 times 4 = 2
det(D) = -det(C) = -2
det(E) = det(D) = -2

Resposta

a) det(M) = 1
b) Sim, M é inversível porque det(M) neq 0 .
c) det(E) = -2

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