Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 1 .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa (o valor de
) é 1. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
, ou seja, quanto a função vale quando
. Isso vai nos dar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar.
Calculando:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. Vamos derivar cada parte da função separadamente.
A função é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante, como -4, é 0.
Então, a derivada
fica:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos encontrar o valor de
para saber a inclinação da reta tangente no ponto
.
Calculando:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo pelos valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é: