Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=raizx+3 raiz[3]x^2-4 no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = raizx + 3 raiz[3]x^2 - 4 no ponto onde a abscissa (o valor de x ) é 1. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(1) , ou seja, quanto a função vale quando x = 1 . Isso vai nos dar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar.
Calculando:
f(1) = raiz1 + 3 raiz[3]1^2 - 4 = 1 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Então, o ponto de tangência é (1, 0) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x . Vamos derivar cada parte da função separadamente.
A função é:
f(x) = raizx + 3 raiz[3]x^2 - 4
Derivando termo a termo:
  • A derivada de raizx é 12raizx .
  • A derivada de 3 raiz[3]x^2 é 3 times 23 x^-1/3 = 2 x^-1/3 .
  • A derivada de uma constante, como -4, é 0.
Então, a derivada f'(x) fica:
f'(x) = 12raizx + 2 x^-1/3

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos encontrar o valor de f'(1) para saber a inclinação da reta tangente no ponto x = 1 .
Calculando:
f'(1) = 12raiz1 + 2 (1)^-1/3 = 12(1) + 2(1) = 12 + 2 = 52
Então, a inclinação da reta tangente é 52 .

Passo 5

Com o ponto de tangência (1, 0) e a inclinação m = 52 , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m (x - x0)
Substituindo pelos valores que temos:
y - 0 = 52 (x - 1)
Simplificando:
y = 52x - 52

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = 52x - 52

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