Mostre que
é diferenciável em
. Use a linearização de
em ( 1,1 ) para aproximar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
. Além disso, vamos usar a linearização dessa função em
para aproximar o valor de
. Para isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade, derivadas parciais e linearização de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas próximas a
, podemos dizer que a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Com isso, podemos escrever a linearização de
em torno do ponto
. A linearização
é dada por:
onde
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Então, a linearização fica:
Passo 7
Agora, queremos aproximar
usando a linearização. Vamos substituir
e
na expressão de
:
Passo 8
Vamos simplificar os cálculos:
Então:
Resposta
A aproximação de
usando a linearização em
é 3,3.