Mostre que f(x, y)=2 x^2+y^2 é diferenciável em (1,1). Use a linearização de f em ( 1,1 ) para aproximar f(1.1 ; 0.95).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função f(x, y) = 2x^2 + y^2 é diferenciável no ponto (1,1). Além disso, vamos usar a linearização dessa função em (1,1) para aproximar o valor de f(1.1, 0.95) . Para isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade, derivadas parciais e linearização de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(x, y) = 2x^2 + y^2 é diferenciável no ponto (1,1). Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y .
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x(2x^2 + y^2) = 4x
A derivada parcial de f em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y(2x^2 + y^2) = 2y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1):
fx(1, 1) = 4 times 1 = 4
fy(1, 1) = 2 times 1 = 2
Como as derivadas parciais existem e são contínuas próximas a (1,1), podemos dizer que a função f é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Com isso, podemos escrever a linearização de f em torno do ponto (1,1). A linearização L(x, y) é dada por:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
onde (a, b) = (1,1).

Passo 6

Vamos calcular f(1,1) :
f(1,1) = 2 times 1^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3
Então, a linearização fica:
L(x, y) = 3 + 4(x - 1) + 2(y - 1)

Passo 7

Agora, queremos aproximar f(1.1, 0.95) usando a linearização. Vamos substituir x = 1.1 e y = 0.95 na expressão de L(x, y) :
L(1.1, 0.95) = 3 + 4(1.1 - 1) + 2(0.95 - 1)

Passo 8

Vamos simplificar os cálculos:
4(1.1 - 1) = 4 times 0.1 = 0.4
2(0.95 - 1) = 2 times (-0.05) = -0.1
Então:
L(1.1, 0.95) = 3 + 0.4 - 0.1 = 3.3

Resposta

A aproximação de f(1.1, 0.95) usando a linearização em (1,1) é 3,3.

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