Seja f a função definida por:
f(x)=cc a-x^2, & se x>-2 b, & se x=-2 -x-2, & se x<-2
Considerando os valores de a e b encontrados no item anterior, use a definição de derivada para verificar se f é derivável em x=-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
f(x)=cc a - x^2, & se x > -2 b, & se x = -2 - x - 2, & se x < -2
O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas, mais especificamente a definição de derivada para verificar se a função f é derivável em x = -2 . Para isso, vamos precisar dos valores de a e b que garantem a continuidade da função nesse ponto, além de entender como calcular limites para definir a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em x = -2 . Para isso, os limites à esquerda e à direita de x = -2 devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.
Para x > -2 :
limx to -2^+ f(x) = a - (-2)^2 = a - 4
Para x < -2 :
limx to -2^- f(x) = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0
Como a função deve ser contínua em x = -2 , temos:
a - 4 = b = 0
Então, b = 0 e a = 4 .

Passo 3

Agora que temos a = 4 e b = 0 , vamos verificar se f é derivável em x = -2 usando a definição de derivada:
f'(-2) = limh to 0 f(-2 + h) - f(-2)h
Vamos calcular esse limite pela direita e pela esquerda para ver se eles são iguais.
Para h to 0^+ (direita):
f(-2 + h) = 4 - (-2 + h)^2 = 4 - (4 - 4h + h^2) = 4 - 4 + 4h - h^2 = 4h - h^2
Então,
limh to 0^+ 4h - h^2 - 0h = limh to 0^+ (4 - h) = 4
Para h to 0^- (esquerda):
f(-2 + h) = -(-2 + h) - 2 = 2 - h - 2 = -h
Então,
limh to 0^- -h - 0h = limh to 0^- (-1) = -1

Resposta

Como os limites das derivadas pela direita e pela esquerda em x = -2 são diferentes (4 e -1), a função f não é derivável em x = -2 .

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