Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
ld yd t=y(100-y) y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. Aqui, temos a equação dydt = y(100 - y) com a condição inicial y(0) = 1. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e t na equação. Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e os termos com t do outro. A equação fica assim:
dyy(100 - y) = dt

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos uma fração que podemos simplificar usando frações parciais. A integral fica:
integral 1y(100 - y) , dy = integral 1 , dt
Resolvendo as integrais:
1100 ln|y100 - y| = t + C

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C. Substituindo:
1100 ln(199) = 0 + C Rightarrow C = 1100 ln(199)

Passo 5

Reescrevendo a equação com C, temos:
1100 ln(y100 - y) = t + 1100 ln(199)
Multiplicando ambos os lados por 100 e exponenciando para resolver para y:
y100 - y = e^100t cdot 199
Resolvendo para y:
y(t) = 1001 + 99e^-100t

Passo 6

O intervalo de validade da solução é para todos os valores de t reais, já que a solução é válida para qualquer tempo.
Quanto ao gráfico, a função y(t) é uma curva logística que começa em y = 1 e se aproxima de y = 100 conforme t aumenta.

Resposta

A solução da equação diferencial é y(t) = 1001 + 99e^-100t, válida para todo t in R.

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