Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. Aqui, temos a equação com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e na equação. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos uma fração que podemos simplificar usando frações parciais. A integral fica:
Resolvendo as integrais:
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C. Substituindo:
1100 ln(199) = 0 + C Rightarrow C = 1100 ln(199)
Passo 5
Reescrevendo a equação com C, temos:
1100 ln(y100 - y) = t + 1100 ln(199)
Multiplicando ambos os lados por 100 e exponenciando para resolver para y:
y100 - y = e^100t cdot 199
Resolvendo para y:
y(t) = 1001 + 99e^-100t
Passo 6
O intervalo de validade da solução é para todos os valores de t reais, já que a solução é válida para qualquer tempo.
Quanto ao gráfico, a função y(t) é uma curva logística que começa em y = 1 e se aproxima de y = 100 conforme t aumenta.
Resposta
A solução da equação diferencial é y(t) = 1001 + 99e^-100t, válida para todo t in R.