Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
Sabendo que f(x) é uma função tal que |3 f(x)+6| <= x^2-x, calcule lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) e sabe que |3 f(x) + 6| <= x^2 - x . A gente precisa calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0, ou seja, limx to 0 f(x) . Para isso, vamos usar conceitos de limites e desigualdades para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade que nos foi dada: |3 f(x) + 6| <= x^2 - x . O símbolo de valor absoluto, | cdot | , nos diz que a expressão dentro dele está entre valores negativos e positivos. Então, podemos reescrever essa desigualdade sem o valor absoluto.

Passo 3

A desigualdade |3 f(x) + 6| <= x^2 - x significa que:
- (x^2 - x) <= 3 f(x) + 6 <= x^2 - x
Isso porque o valor absoluto de algo é menor ou igual a algum número positivo, então a expressão dentro do valor absoluto fica limitada por esses dois valores.

Passo 4

Agora, vamos resolver as duas partes da desigualdade para isolar f(x) . Primeiro, subtraímos 6 de todas as partes:
- (x^2 - x) - 6 <= 3 f(x) <= x^2 - x - 6

Passo 5

Em seguida, dividimos tudo por 3 para resolver para f(x) :
- (x^2 - x) - 6 3 <= f(x) <= x^2 - x - 6 3
Simplificando, temos:
-x^2 - x + 63 <= f(x) <= x^2 - x - 63

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando x tende a 0 para as duas extremidades da desigualdade. Calculamos:
limx to 0 ( -x^2 - x + 63 ) = -0 - 0 + 63 = -2
limx to 0 ( x^2 - x - 63 ) = 0 - 0 - 63 = -2

Passo 7

Como os limites das duas extremidades são iguais a -2, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Serragem), podemos concluir que:
limx to 0 f(x) = -2

Resposta

limx to 0 f(x) = -2

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