Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
Sabendo que
é uma função tal que
, calcule
.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e sabe que
. A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e desigualdades para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade que nos foi dada:
. O símbolo de valor absoluto,
, nos diz que a expressão dentro dele está entre valores negativos e positivos. Então, podemos reescrever essa desigualdade sem o valor absoluto.
Passo 3
A desigualdade
significa que:
Isso porque o valor absoluto de algo é menor ou igual a algum número positivo, então a expressão dentro do valor absoluto fica limitada por esses dois valores.
Passo 4
Agora, vamos resolver as duas partes da desigualdade para isolar
. Primeiro, subtraímos 6 de todas as partes:
Passo 5
Em seguida, dividimos tudo por 3 para resolver para
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0 para as duas extremidades da desigualdade. Calculamos:
Passo 7
Como os limites das duas extremidades são iguais a -2, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Serragem), podemos concluir que: