Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=x^4-42 x^3+x

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos calcular a derivada da função f(x) = x^4 - 42x^3 + x . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, mais especificamente a regra do quociente, que é essencial quando temos uma função na forma de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de x .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função:
  • Numerador (u): u(x) = x^4 - 4
  • Denominador (v): v(x) = 2x^3 + x

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador: u'(x) = ddx(x^4 - 4) = 4x^3
  • Derivada do denominador: v'(x) = ddx(2x^3 + x) = 6x^2 + 1

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Vamos substituir u(x) , u'(x) , v(x) e v'(x) na fórmula.

Passo 5

Substituindo:
f'(x) = 4x^3 cdot (2x^3 + x) - (x^4 - 4) cdot (6x^2 + 1)(2x^3 + x)^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador:
4x^3 cdot (2x^3 + x) = 8x^6 + 4x^4
(x^4 - 4) cdot (6x^2 + 1) = 6x^6 + x^4 - 24x^2 - 4
Subtraindo esses termos:
8x^6 + 4x^4 - (6x^6 + x^4 - 24x^2 - 4) = 2x^6 + 3x^4 + 24x^2 + 4

Passo 7

Então, a derivada fica:
f'(x) = 2x^6 + 3x^4 + 24x^2 + 4(2x^3 + x)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x^6 + 3x^4 + 24x^2 + 4(2x^3 + x)^2

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