Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=(cos x+x)(x^3-2 x^2+tg x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f(x) = (cos x + x)(x^3 - 2x^2 + tan x) . Estamos lidando com derivadas, especificamente com a regra do produto, que serve quando temos duas funções multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão se multiplicando. Vamos chamar:
  • u(x) = cos x + x
  • v(x) = x^3 - 2x^2 + tan x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções separadamente. Vamos começar com u(x) :
u'(x) = ddx(cos x) + ddx(x)
Sabemos que:
ddx(cos x) = -sin x
ddx(x) = 1
Então,
u'(x) = -sin x + 1

Passo 4

Vamos derivar v(x) agora:
v'(x) = ddx(x^3) - ddx(2x^2) + ddx(tan x)
Sabemos que:
ddx(x^3) = 3x^2
ddx(2x^2) = 4x
ddx(tan x) = sec^2x
Então,
v'(x) = 3x^2 - 4x + sec^2x

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de f(x) = u(x)v(x) é:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (-sin x + 1)(x^3 - 2x^2 + tan x) + (cos x + x)(3x^2 - 4x + sec^2x)

Resposta

A derivada da função f(x) é:
f'(x) = (-sin x + 1)(x^3 - 2x^2 + tan x) + (cos x + x)(3x^2 - 4x + sec^2x)

Exercícios relacionados