Em cada item, faça o que se pede, justificando sua resposta:
Seja [A=\left(a_{i j}\right)) a matriz de ordem 6 definida por:
a_{i j}= \begin{cases}3 i-2 j, & \text { se } i<j \\\ i+j, & \text { se } i=j \\\\ -3 j, & \text { se } i>j\end{cases}
Calcule (\frac{a_{56}}{a_{32}}].
(b) (15 pontos) Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{array}\right)
Utilizando o desenvolvimento de LaPlace ao longo da terceira coluna, calcule \operatorname{det} A.

Passo 1

O exercício tem dois itens.
No item (a) temos uma matriz A=(a_{ij})\) de ordem \(6\) definida por \[a_{ij}= \begin{cases} 3i-2j, & i<j,\\\ i+j, & i=j,\\\\ -3j, & i>j. \end{cases}
e nos pedem a razão \frac{a_{56}}{a_{32}}\]. No item (b) temos a matriz \[A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1& 0\\\\ 2 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}\] e precisamos calcular \(\det A usando expansão de Laplace ao longo da terceira coluna.

Passo 2

Para o item (a) escolhemos as posições (i,j)=(5,6) e (i,j)=(3,2) e aplicamos a definição por casos:
Como 5<6,
a_{56}=3\cdot5-2\cdot6=15-12=3.
Como 3>2,
a_{32}=-3\cdot2=-6.
Logo,
\frac{a_{56}}{a_{32}}=\frac{3}{-6}=-\frac12.

Passo 3

Para o item (b) vamos expandir \det A pela terceira coluna. Nessa coluna os únicos elementos não nulos são
\;a_{23}=-1 e \;a_{43}=3.
A regra de Laplace dá
\det A =\sum_{i=1}^4(-1)^{\,i+3}a_{i3}\det M_{i3} =(-1)^{2+3}(-1)\det M_{23}+(-1)^{4+3}(3)\det M_{43}.
Como (-1)^{5}=-1 e (-1)^{7}=-1, fica
\det A =+1\cdot\det M_{23}\;-\;3\det M_{43}.

Passo 4

Agora calculamos os menores:
O menor M_{23} é a matriz que sobra ao riscar linha 2 e coluna 3, ou seja
M_{23}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Seu determinante vale
\det M_{23} =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&-2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&-1\\\ 0&-2\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =-1-8+2=-7.
O menor M_{43} é a matriz que sobra ao riscar linha 4 e coluna 3, ou seja
M_{43}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Seu determinante vale
\det M_{43} =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&-1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&0\\\ 2&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix} =-1-0-2=-3.

Passo 5

Substituindo em
\det A=\det M_{23}-3\det M_{43} temos
\det A =(-7)-3\cdot(-3)=-7+9=2.

Resposta

(a) -\tfrac12
(b) 2

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