Utilizando o desenvolvimento de LaPlace ao longo da terceira coluna, calcule \operatorname{det} A.
Passo 1
O exercício tem dois itens.
No item (a) temos uma matriz A=(a_{ij})\) de ordem \(6\) definida por
\[a_{ij}= \begin{cases} 3i-2j, & i<j,\\\ i+j, & i=j,\\\\ -3j, & i>j. \end{cases}
e nos pedem a razão \frac{a_{56}}{a_{32}}\].
No item (b) temos a matriz
\[A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1& 0\\\\ 2 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}\]
e precisamos calcular \(\det A usando expansão de Laplace ao longo da terceira coluna.
Passo 2
Para o item (a) escolhemos as posições (i,j)=(5,6) e (i,j)=(3,2) e aplicamos a definição por casos:
Como 5<6,
a_{56}=3\cdot5-2\cdot6=15-12=3.
Como 3>2,
a_{32}=-3\cdot2=-6.
Logo,
\frac{a_{56}}{a_{32}}=\frac{3}{-6}=-\frac12.
Passo 3
Para o item (b) vamos expandir \det A pela terceira coluna. Nessa coluna os únicos elementos não nulos são \;a_{23}=-1 e \;a_{43}=3.
A regra de Laplace dá
\det A =\sum_{i=1}^4(-1)^{\,i+3}a_{i3}\det M_{i3} =(-1)^{2+3}(-1)\det M_{23}+(-1)^{4+3}(3)\det M_{43}.
Como (-1)^{5}=-1 e (-1)^{7}=-1, fica
\det A =+1\cdot\det M_{23}\;-\;3\det M_{43}.
Passo 4
Agora calculamos os menores:
O menor M_{23} é a matriz que sobra ao riscar linha 2 e coluna 3, ou seja