Determine os seguintes limites.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0, \pi / 2,2)} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x} i+\cos (y) j+(x y+z) k.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y,z)\to(0,\pi/2,2)}\frac{\sin(2x)}{x}\,\mathbf{i}+\cos(y)\,\mathbf{j}+(xy+z)\,\mathbf{k}.
Este é um limite de função vetorial de três variáveis. Sabemos que, se cada componente tem limite, o limite vetorial é o vetor cujas componentes são esses limites.

Passo 2

Calcular a primeira componente
\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}.
Usamos a substituição u=2x. Então, quando x\to0, u\to0 e
\frac{\sin(2x)}{x} =\frac{\sin(u)}{u/2} =2\;\frac{\sin(u)}{u} \to2\cdot1 =2.

Passo 3

Calcular a segunda componente
\lim_{y\to\pi/2}\cos(y) =\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =0.

Passo 4

Calcular a terceira componente
\lim_{(x,y,z)\to(0,\pi/2,2)}\bigl(xy+z\bigr).
Como soma e produto são contínuos, basta substituir (x,y,z)=(0,\pi/2,2):
xy+z =0\cdot\tfrac\pi2+2 =2.

Passo 5

Juntando as componentes, o limite do vetor é
2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}.

Resposta

2\mathbf{i}+2\mathbf{k}

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