Questão 3: Seja A a matriz:
A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ -3 & 4 & 1 \end{array}\right)
(a) (20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^{-1} por meio de operações elementares.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix}
e pede:
(a) a inversa A^{-1} por operações elementares;
(b) o conjunto solução do sistema A\,X = B com
B = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Para (a) vamos usar Gauss–Jordan: montar \bigl[A\mid I\bigr] e reduzi-la até \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]. Em (b) basta aplicar X = A^{-1}B.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\bigl[A\mid I\bigr] = \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Usamos R_2 \gets R_2 - 2R_1 e R_3 \gets R_3 + 3R_1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 3

Agora pivot em (2,2): fazemos R_2 \gets -R_2 para ter 1 na posição (2,2):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right).
Em seguida eliminamos o 4 em (3,2): R_3 \gets R_3 - 4R_2,
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).

Passo 4

Verificamos que as colunas 1 e 2 já têm zeros fora dos pivôs, e a coluna 3 já está pronta. Logo chegamos a
\bigl[I\mid A^{-1}\bigr] = \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).
Portanto
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para resolver A\,X = B usamos X = A^{-1}B. Calculando
X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot3\\\\ 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 0\cdot3\\\\ -5\cdot1 + 4\cdot2 + 1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
O conjunto solução de A\,X = B é
X = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix}.

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