Em cada item, faça o que se pede:
Sabendo que, para todo x in R,|f(x)-(@+1)| <= 2(x-(@+1))^2, calcule lim x (@+1) f(x).

Passo 1

Neste exercício temos uma função f e um ponto L = (@+1). Sabemos que para todo x in R vale
|f(x) - L| <= 2(x - L)^2
Queremos calcular limx to L f(x). Vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro, note que
limx to L(x - L)^2 = 0
Como multiplicar por 2 não afeta o limite nulo, segue-se que
limx to L2(x - L)^2 = 2 cdot 0 = 0

Passo 3

Pelo enunciado temos
0 <= |f(x) - L| <= 2(x - L)^2
e já vimos que o limite da parte superior 2(x-L)^2 é 0. Assim, pelo teorema do confronto,
limx to L|f(x) - L| = 0

Passo 4

Quando limxto L|f(x)-L| = 0, isso implica que f(x) - L to 0, ou seja
limx to Lf(x) = L

Resposta

(@+1)

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