Em cada item, faça o que é pedido, dando as devidas justificativas:
a) ( 1,0 ponto) Determine um conjunto gerador da imagem da transformaçāo linear , definida por .
b) ponto) Determine a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear do item anterior:
c) (1,5 ponto) Considerando a base do , determine , onde é definido por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício com três partes que envolvem transformações lineares. A gente vai usar conceitos de álgebra linear como imagem e núcleo de uma transformação linear, além de trabalhar com bases e dimensões. Para resolver tudo isso, vamos precisar identificar conjuntos geradores, calcular dimensões e entender como representar transformações em diferentes bases. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a) Determinar um conjunto gerador da imagem da transformação linear
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todos os possíveis resultados que você obtém aplicando a todas as matrizes . Um conjunto gerador da imagem são vetores que, combinados linearmente, conseguem gerar toda a imagem.
A transformação é dada por:
Vamos expressar isso em termos de combinações lineares das variáveis :
Portanto, os vetores , , e são candidatos a gerar a imagem de .
Agora, para encontrar um conjunto gerador mínimo, precisamos verificar se algum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Observando, percebemos que nenhum deles é combinação dos outros, então todos são necessários.
Conjunto gerador da imagem de :
Passo 3
Parte b) Determinar a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear do item anterior
Vamos falar sobre núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todas as matrizes tais que . A dimensão do núcleo é chamada de nulidade, e a dimensão da imagem é chamada de posto.
Primeiro, calculamos o posto. No item a), encontramos que a imagem de é gerada por 4 vetores em . Como tem dimensão 3, o máximo que o posto pode ser é 3. Mas precisamos verificar se esses 4 vetores são linearesmente independentes ou não.
Ao montar a matriz com esses vetores como colunas:
Vemos que a coluna 3 é a média da coluna 1 e da coluna 2 (-1 = (-1 + 1)/2, etc.), então elas não são todas independentes. Portanto, o posto é 3.
Agora, usando o Teorema da Dimensão, que diz que:
dim(Domínio) = dim(Núc<=o) + dim(Im) íú
O domínio M2(R) tem dimensão 4 (já que são 2x2 matrizes, cada entrada conta). Sabendo que o posto é 3:
4 = dim(Núc<=o) + 3 implies dim(Núc<=o) = 1 úú
Dimensões:
Dimensão do núcleo de T : 1
Dimensão da imagem de T : 3
Passo 4
Parte c) Determinar [T|alpha ^a ] e [T(1,0)]a , onde alpha=(1,1),(0,1) e T: R^2 longrightarrow R^2 é definido por T(x, y) = (5x - y, x + 3y)
Aqui, temos uma transformação linear T e uma base alpha do domínio. Queremos representar T em relação a essa base.
Primeiro, vamos lembrar que [T|alpha ^a ] significa a matriz de T com a base alpha no domínio e a base a no contradomínio. Suponho que a seja a base padrão de R^2 .
Para encontrar essa matriz, aplicamos T aos vetores da base alpha e expressamos os resultados na base a .
Base alpha = , (1,1), (0,1) ,
Vamos calcular:
T(1,1) = (5 cdot 1 - 1,, 1 + 3 cdot 1) = (4, 4)
T(0,1) = (5 cdot 0 - 1,, 0 + 3 cdot 1) = (-1, 3)
Agora, organizamos esses resultados nas colunas da matriz:
[T|alpha ^a ] = 4 & -1 4 & 3
Agora, para [T(1,0)]a , precisamos expressar T(1,0) na base a (padrão).
Calcular T(1,0) :
T(1,0) = (5 cdot 1 - 0,, 1 + 3 cdot 0) = (5, 1)
Como a base a é a padrão, [T(1,0)]a é simplesmente o vetor T(1,0) coordenado na base padrão:
[T(1,0)]a = 5 1
Resposta
a) Um conjunto gerador da imagem de T é:
, (-1, 2, 1), (1, -1, 0), (-1, 1, 0), (0, 1, 1) ,
b) A dimensão do núcleo de T é 1 e a dimensão da imagem de T é 3.
c) A matriz de T em relação à base alpha e à base padrão a é: