Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
(longrightarrow) V=(x, y) in R^2: x=y^2 é um subespaço de R^2

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se o conjunto V = (x, y) in R^2 : x = y^2 é um subespaço de R^2 . Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, para ser um subespaço, o conjunto tem que satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto V contém o vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Substituindo y = 0 na equação x = y^2 , temos:
x = 0^2
x = 0
Então, o vetor (0, 0) realmente está em V . Ótimo, a primeira condição está atendida!

Passo 3

Agora, vamos verificar se V é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em V , a soma deles também deve estar em V . Vamos considerar dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) em V . Então:
x1 = y1^2
x2 = y2^2
A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2) . Para esse vetor estar em V , deve ser válido que:
x1 + x2 = (y1 + y2)^2
Vamos substituir:
y1^2 + y2^2 = y1^2 + 2y1y2 + y2^2
Simplificando:
y1^2 + y2^2 = y1^2 + y2^2 + 2y1y2
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os y1 e y2 , precisaríamos que 2y1y2 = 0 , o que só acontece se pelo menos um dos y for zero. Como isso não acontece para todos os casos, V não é fechado para adição.

Passo 4

Apesar de já termos encontrado que V não é fechado para adição, vamos verificar a última condição, que é a multiplicação por escalar. Seja c um número real qualquer e (x, y) in V , então:
x = y^2
Multiplicando por c :
(c cdot x, c cdot y)
Para que (c cdot x, c cdot y) esteja em V , deve ser válido que:
c cdot x = (c cdot y)^2
Substituindo x = y^2 :
c cdot y^2 = c^2 cdot y^2
Isso implica que c = c^2 , ou seja, c deve ser 0 ou 1. Como isso não é verdade para todos os números reais, V não é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, o conjunto V = (x, y) in R^2 : x = y^2 não é um subespaço de R^2 , já que não satisfaz as condições de fechamento para adição e multiplicação por escalar.

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