Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
é um subespaço de
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se o conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, para ser um subespaço, o conjunto tem que satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição (se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo
na equação
, temos:
Então, o vetor
realmente está em
. Ótimo, a primeira condição está atendida!
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores
e
em
. Então:
A soma desses vetores é
. Para esse vetor estar em
, deve ser válido que:
Vamos substituir:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
e
, precisaríamos que
, o que só acontece se pelo menos um dos
for zero. Como isso não acontece para todos os casos,
não é fechado para adição.
Passo 4
Apesar de já termos encontrado que
não é fechado para adição, vamos verificar a última condição, que é a multiplicação por escalar. Seja
um número real qualquer e
, então:
Multiplicando por
:
Para que
esteja em
, deve ser válido que:
Substituindo
:
Isso implica que
, ou seja,
deve ser 0 ou 1. Como isso não é verdade para todos os números reais,
não é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um subespaço de
, já que não satisfaz as condições de fechamento para adição e multiplicação por escalar.